Booleova algebra. algebra logike. Elementi matematičke logike

U današnjem svijetu se sve više koristi razne strojeva i naprava. I to ne samo kada je potrebno primijeniti doslovno nadljudsku snagu: premjestiti učitavanje ga podići na visinu, kopaju duge i duboke rov itd automobili danas skupljati robota, hrana kuha Multivarki i osnovne aritmetičke kalkulacije proizvodnju računala ... Sve češće čujemo izraz „Booleova algebra”. Možda je došlo vrijeme da shvate ulogu ljudskog bića u stvaranju robota i strojeva sposobnost rješavanja ne samo matematički, već i logičke probleme.

logika

U grčkoj logici - naredio sustav misli koji stvara odnos između danim uvjetima i omogućuje vam da zaključke na temelju pretpostavki i procjena. Vrlo često, tražimo jedni druge: „Logično je da se” Odgovor potvrđuje naše pretpostavke ili kritizira misli. No, postupak se tu ne zaustavlja: nastavljamo razgovarati.

Ponekad je broj stanja (ulaznih) je tako velik, a odnos između njih je toliko zbunjujuće i složeno da je ljudski mozak nije u stanju „probaviti” sve odjednom. Možda će vam trebati više od mjesec dana (tjedan, godina) za razumijevanje onoga što se događa. No, suvremeni život ne daje nam ove vremenskim intervalima kako bi odluke. A mi posegnuti za pomoć računala. I to je ovdje da je algebra i logika, sa svojim zakonima i svojstvima. Nakon preuzimanja originalnih podataka, omogućuju računalu prepoznati sve odnose, kako bi se uklonili proturječnosti i naći zadovoljavajuće rješenje.

Matematika i logika

Poznati Gotfrid Vilgelm Leybnits formulirao pojam „Matematička logika”, koji zadaci su bili lako razumjeti samo mali krug znanstvenika. Od posebnog interesa je smjer nije uzrok, a do sredine XIX stoljeća od Matematička logika poznat po nekoliko.

Veliki interes u znanstvenoj zajednici izazvao je spor u kojem je Englez Dzhordzh Bul proglasio svoju namjeru da uspostavi granu matematike, nemaju apsolutno nikakvu praktičnu uporabu. Kao što znamo iz povijesti, u ovom trenutku aktivno razvija industrijska proizvodnja, razvili smo sve vrste pomoćnih strojeva, t. E. Sva znanstvena otkrića su imali praktičnu orijentaciju.

Gledajući naprijed, možemo reći da je Booleova algebra - najviše koristi u svijetu danas dio matematike. Dakle, tvoj argument Buhl izgubljen.

Dzhordzh Bul

Osobnost autora zaslužuje posebnu pozornost. Čak s obzirom na činjenicu da su u prošlosti ljudi odrastao pred nama, još uvijek treba napomenuti da je u 16 godina Ivan. Buhl učio na seoskoj školi, a do 20 godina otvorio svoju školu u Lincoln. Matematičar savršeno ovladali pet stranih jezika, te u slobodno vrijeme, čitao djela Newtona i Lagrangeov. I sve to - na sina običnom radnika!

Godine 1839., Buhl je poslao svoje prve znanstvene radove u Cambridge Mathematical Journal. Znanstvenik se okrenuo 24 godina. Boole je rad tako da zainteresirani članovi Royal Society, 1844. godine dobio je medalju za doprinos razvoju matematičke analize. Opisani su nekoliko objavljenih radova u kojima su elementi matematičke logike, matematike dopušteno mladi uzeti post od profesor na College of Cork županije. Sjetite se da je na vrlo Boole obrazovanja nije bilo.

ideja

U načelu, Booleova algebra je vrlo jednostavan. Postoje izvještaji (logički izrazi) koji, s točke gledišta matematike, može se definirati samo u dvije riječi: „točno” ili „netočno”. Na primjer, drveće u proljetnom cvatu - istina, u ljeto snijeg - laž. Ljepota matematike je da to nije strogo potrebno koristiti samo brojeve. Za algebre sudova sasvim odgovarao izjave s jedinstvenim značenjem.

Tako je algebra logike se može koristiti doslovno svugdje: u uputama za raspoređivanje i pisanje, analiza oprečne informacije o događanjima i određivanje redoslijeda radnji. Najvažnija stvar - da shvate da to nije važno kako ćemo odrediti istinitosti izvještaja. Od tih „kako” i „zašto” moraš ignorirati. Ono što je važno je samo tvrdnja: istina je laž.

Naravno, programiranje najvažnije funkcije algebra logike koji se iskazuju sa odgovarajućim znakovima i simbolima. I naučiti ih - to znači naučiti novi strani jezik. Ništa nije nemoguće.

Osnovni pojmovi i definicije

Bez ulaženja u dubinu, bavimo se terminologijom. Dakle, Booleova algebra pretpostavlja:

• izjave;
• logičkih operacija;
• funkcije i zakoni.

Izjave - bilo pozitivan izraz koji se može tumačiti dvoznačan. Oni su pisani kao brojeve (5> 3) ili formuliranih poznatih riječi (slona - najveći sisavaca). U tom slučaju, izraz „žirafa vrat nije” također ima pravo na postojanje, samo Booleova algebra definirati kao „laži”.

Sve izjave bi trebao biti jednoznačan, ali oni mogu biti osnovna ili spoj. Nedavna korištenje logično bala. E. U algebarskom izjave presuda spoja dobivenog dodavanjem osnovnih logičkih operacija.

Boolean operacija algebra

Već se sjetiti da je poslovanje u algebra sudova - logično. Baš kao što je algebra brojeva pomoću aritmetičke operacije na zbrajanje, oduzimanje, ili usporediti brojeve, matematička logika elementi dopuštaju da složene izjave, odbiti ili izračunati konačni rezultat.

Logika operacije za formalizaciju i jednostavnosti kojom se izražava formulom, poznati su nam u aritmetici. Svojstva Booleova algebra jednadžbe omogućavaju snimanje i izračunati nepoznato. Logičke operacije se obično bilježe tablici istine. Njegovi elementi definiraju stupce i računalne operacije koje se izvode na njima, a redovi pokazati rezultat izračuna.

Osnovna logika djelovanja

Najčešće u Booleova algebra operacije su negacija (NE), a logično AND i OR. Dakle, moguće je opisati praktički sve korake u algebre sudova. Proučavali smo detaljno svaku od tri operacije.

Odbacivanje (ne) primjenjuje se samo jedan element (operand). Dakle, postupak se zove predznak negacija. Za snimanje koncept „ne” koriste takve simbole: ¬, A ili !. U tabličnom obliku to izgleda ovako:

Funkcija poricanja tipične takve izjave: Ako je istina, onda A - lažno. Na primjer, Mjesec okreće oko Zemlje - istine; Zemlja se vrti oko Mjeseca - laži.

Logički množenja i dodatak

Logično i operacija se zove veznik. Što to znači? Prvo, da se može primijeniti na dva operanda, tj ja - .. Binarna operacija. Drugo, to je samo u slučaju istinitosti oba operanda (A i B) istinit i sama izraz. Poslovica: „Strpljenje i malo truda” implicira da su samo dva faktora, koji mogu pomoći osobi nositi s poteškoćama.

simboli koristi za snimanje: A∧B, A⋅B ili A && B.

Veznik je sličan množenja u aritmetici. Ponekad i reći - logično razmnožavanje. Ako pomnožimo elemente redaka u tablici, možemo dobiti rezultat sličan logičkog razmišljanja.

Razlaz je logična ili rada. Istina je, ako barem jedna od izjava je istinita (ili A ili B). Pisano je ovako: A∨B, A + B ili A || B. istina stol za ove operacije su:

Razlaz sličan aritmetičke dodatak. logička operacija dodavanja ima samo jedno ograničenje: 1 + 1 = 1. Ali mi se da je u digitalnom formatu ograničeno je na Matematička logika 0 i 1 (gdje je 1 - istina, 0 - netočno). Na primjer, izjava „u muzeju možete vidjeti remek-djelo ili pronaći dobro društvo” znači ono što možete vidjeti umjetnička djela, a to je moguće ispuniti zanimljivu osobu. U isto vrijeme, ne isključuje mogućnost istovremenog ispunjenja oba događaja.

Funkcije i zakoni

Dakle, mi već znamo što je logično operacija pomoću Booleova algebra. Funkcije opisati sva svojstva elemenata matematičke logike, i omogućiti nam da se pojednostavili složene izjave. Najviše jasna i jednostavna izgleda odbacivanje vlasništva nad poslovanjem derivate. Po su derivati Podrazumijeva XOR, implikaciju i ekvivalencije. Kao što smo pročitali samo s osnovnim operacijama, a potom i imovina je i samo ih uzeti u obzir.

Asocijativnost znači da je u izjavama poput: „A i B, a B„popis odsječaka od operanada nije važno. Formula je napisan kao što slijedi:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

Kao što možete vidjeti, to nije jedinstven za sprezi, ali je odvajanje.

Komutativnosti tvrdi da je rezultat zajedno ili Razlaz ne ovisi o kojoj se predmet smatra na početku:

A∧B = B∧A; A∨B = B∨A.

Distributivity omogućava opisuju nosače u složenim logičkim izrazima. Pravila su slična otvaranja zagrade u umnažanje i dodatak u algebra:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V; A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

svojstva jedinice i nule, što može biti jedan od operanada su također slične algebarski množenja sa nula ili jedan, a dodatkom jedinice:

A∧0 = 0, A∧1 = A; A∨0 = A, A∨1 = 1.

Idempotency nam govori da ako relativno dvije jednake operanda rezultat rada je isti, možete „baciti” višak komplicirati rasuđivanje operanada. A operacija suradnji i Razlaz su idempotent.

B∧B-B; B∨B = B.

Nabava i omogućava nam da pojednostavi jednadžbu. Apsorpcija se navodi da kada se izraz primjenjuje na jedan operand, drugi rad s istim elementom operanda rezultata apsorbira rad.

A∧B∨B-B; (A∨B) ∧B = B.

slijed operacija

Slijed operacija je od velike važnosti. Zapravo, kao i za algebru, tu je prioritet funkcija koja koristi Booleova algebra. Formule se može pojednostaviti predmet samo na značaj operacije. Rangiranje najznačajniji za zanemariv, dobivamo sljedeći slijed:

1. Odbijanje.

2. povezivanje.

3. odvajanje, XOR.

4. Implikacija, jednakost.

Kao što možete vidjeti, samo negaciju zajedno i nemaju jednaku prednost. Prioritet je odvajanje i XOR su jednaki, kao i prioriteti implicitno i ekvivalencije.

Funkcije i implikacije ekvivalencije

Kao što smo rekli, pored osnovnih logičkih operacija, Matematička logika i teorija algoritama koji koriste derivati. To je najčešće implikacija i ekvivalencija.

Implikacija ili logična posljedica - ova izjava, u kojima je jedna akcija je stanje, a drugi - rezultat njegove provedbe. Drugim riječima, ovaj prijedlog s izgovorom „ako ... onda”. „Nakon večere dolazi obračunavati.” E. Za vožnju zategnuti na saonice brdu. Ako ne postoji želja da se presele sišao s gore, a zatim povucite sanjke nije potrebno. Je napisan tako da: A → B ili A⇒B.

Ekvivalent znači da je neto učinak javlja samo kada su oba operanda istina. Na primjer, noćni ustupa dana nakon toga (i samo tada), kad sunce izlazi iznad horizonta. U jeziku matematičke logike ovoj izjavi je napisano kao A≡B, A⇔B, a == B.

Ostali zakoni Booleova algebra

Algebra presuda razvija, a mnogi zainteresirani znanstvenici formulirati nove zakone. Najpoznatiji smatraju postulira škotski matematičar O. De Morgan. Uočio i dao definiciju takvih svojstava kao bliski negaciji toga i dvostruki negativ.

Blizu uskraćivanje sugerira da je prije umetak ne negira: ne (A ili B) = nije A ili B ne

Kada je operand je odbijen, bez obzira na vrijednost, recimo oko toga:

B∧¬B = 0; B∨¬B = 1.

I na kraju, dvostruka negacija sama kompenzira. tj prije ili operand negacija nestane ili ostane samo jedan.

Kako riješiti testove

Logika podrazumijeva pojednostavljenja unaprijed određeno jednadžbe. Baš kao u laži algebra, potrebno je maksimalno olakšao prvi uvjet (da biste dobili osloboditi od kompliciranih ulaznih operacije, i sa njima), a zatim početi u potrazi za točan odgovor.

Što učiniti kako bi se pojednostavio? Pretvori sve derivate na jednostavan rad. Tada otkrije sve nosače (ili obratno, da bi zagrade kako bi se smanjila taj element). Sljedeći korak treba koristiti logičke algebra svojstva u praksi (apsorpcijska svojstva nula i jedan i t.).

U konačnici, jednadžba trebala sastojati od minimalnog broja nepoznanica, u kombinaciji s jednostavnim operacijama. Najlakši način tražiti rješenje, ako bi veliki broj bliskih negativa. Onda je odgovor će se pojaviti kao da sama po sebi.