Koji su brojevi s pomičnim zarezima?

Oblik prikaza stvarnih (ili stvarnih) brojeva, gdje su pohranjeni kao mantis i eksponent, su brojevi s lebdećim točkama (možda točka, kao što je uobičajeno u zemljama engleskog govornog područja). Unatoč tomu, broj dobiva fiksnu relativnu točnost i različitu apsolutnu. Prikaz koji se najčešće koristi je odobren standardom IEEE 754. Matematičke operacije, u kojima se koriste brojevi s pomičnim zarezom, implementiraju se u računalnim sustavima - i hardveru i softveru.

Točka ili zarez

U detaljanoj listi decimalnog separatora označene su one zemlje engleskog govornog područja i engleskog govornog područja, gdje se u brojevnim zapisima frakcijski dio dijeli od cjelokupnog dijela, pa se terminologija tih zemalja naziva plutajućom točkom - "pomična točka". U Ruskoj Federaciji, frakcijski dio cjeline tradicionalno se odvaja zarezom, zbog čega pojam povijesno prepoznatljiv pojam "brojeva s pomičnim zarezom" označava ovaj pojam. Ipak, danas iu tehničkoj dokumentaciji i na ruskom jeziku, obje su ove varijante sasvim prihvatljive.

Pojam "brojevi s pomičnim zarezom" proizlazi iz činjenice da pozicijski prikaz broja predstavlja zarez (obični decimalni ili binarni - računalo) koji se može nalaziti bilo gdje između brojeva niza. Ova se značajka mora raspravljati odvojeno. To znači da se prikaz brojeva s pomičnim zarezom može smatrati računalnom implementacijom eksponencijalnog unosa brojeva. Prednost korištenja takvog prikaza preko prikaza formata s fiksnim zarezom i cijelim brojevima je da se raspon vrijednosti značajno povećava, a relativna točnost ostaje nepromijenjena.

primjer

Ako je točka u broju fiksna, možete je upisati samo u jednom formatu. Na primjer, šest bita cjelobrojnog broja i dva bita u frakcijskom dijelu su dani. To se može učiniti samo na ovaj način: 123456,78. Format brojeva s pomičnim zarezima pruža puni opseg za izražavanje. Na primjer, dani su iste osam bitova. Varijante snimanja mogu biti toliko dugo dok programer ne mora napraviti dvoznamenkasti dodatno polje gdje će napisati eksponente, koji su obično 10, od 0 do 16, a ukupan broj će biti deset: 8 + 2.

Neke opcije za pisanje koje omogućuju format broja s pomičnim zarezima: 12345678000000000000; ,0000012345678; 123,45678; 1,2345678 i tako dalje. Ovaj format ima čak i jedinicu mjerenja brzine! Umjesto toga, brzina računalnog sustava, koja određuje brzinu kojom računalo obavlja operacije, gdje je prikaz broja brojeva s pomičnim zarezom. To se mjeri u smislu FLOPS (operacija s pomičnim zarezom u sekundi, što znači broj operacija u sekundi s brojevima s pomičnim zarezom). Ova je jedinica glavna mjera brzine računalnog sustava.

struktura

Da biste napisali broj u obliku s pomičnim zarezom, trebat će vam sljedeći način promatranja slijeda potrebnih dijelova, budući da je taj unos eksponencijalan, gdje su stvarni brojevi prikazani kao mantis i red. To je potrebno za predočenje prevelikog i premalog broja, puno je prikladnije za čitanje. Obvezni dijelovi: zabilježeni broj (N), mantis (M), znak reda (p) i red (n). Posljednja dva znaka čine obilježje broja. Dakle, N = M. N ^p . Tako su brojevi napisani plivajućim zarezom. Primjeri će biti različiti.

1. Potrebno je zapisati broj milijuna kako se ne bi zbunili u nulama. 1000000 je normalni unos, aritmetički. Računalo izgleda ovako: 1.0 ^. 10 ⁶ . To jest, deset u šestom stupnju - tri znaka, koja odgovara čak šest nula. Dakle, pojavljuje se prikaz broja fiksnih točaka i broja s pomičnim zarezom, gdje možete odmah otkriti razlike u pravopisu.

2. I takav težak broj od 1435000000 (milijardu četiri stotine trideset i pet tisuća) jednostavno se može zapisati: 1.435 ^. 10 ⁹ , samo. Slično tome, možete upisati bilo koji broj znakom minus. Ovo je mjesto gdje se brojevi s fiksnom točkom i s pomičnim zarezima međusobno razlikuju.

Ali to su veliki brojevi, kako se nositi s malim? Da, previše lako.

3. Na primjer, kako odrediti milijunti dio? 0,000001 = 1,0 ^. 10 ^-6 . Značajno olakšava pisanje broja i njegovo čitanje.

4. I teže? Petsto četrdeset šest milijardi: 0.000000546 = 546 ^. 10 ^-9 . Ovdje. " Raspon prikazivanja broja s pomičnim zarezom je vrlo širok.

oblik

Oblik broja može biti normalan ili normaliziran. Normalno - uvijek primjećuje preciznost brojeva s pomičnim zarezom. Treba napomenuti da je mantiska u ovom obliku, bez uzimanja u obzir znak, na pola puta od intervala: 0 1, dakle 0 ⩽ a <1. Broj ne gubi točnost u normalnom obliku. Nedostatak normalnog oblika broja je taj da se mnogi brojevi mogu pisati na različite načine, to jest dvosmisleno. Primjer različitih zapisa istog broja: 0.0001 = 0, 000001 ^. 10 ² = 0,00001 ^. 10 ¹ = 0,0001 ^. 10 ⁰ = 0,001 ^. 10 ^-1 = 0.01 ^. 10 ^-2 i tako još možete još puno toga. Zato se u računalnoj znanosti koristi još jedan normalizirani oblik zapisa, gdje mantisi decimalnih brojeva imaju vrijednost od jednog (uključivo) pa do deset (ne uključujući), a na isti način mantis binarnih brojeva ima vrijednost od jednog (uključivo) do dva (ne uključivo).

Dakle, 1 ⩽ a <10. To su binarni brojevi s pomičnim zarezima, a taj oblik pisanja popravlja bilo koji broj (osim nula) jedinstveno. Ali postoji i nedostatak - nemogućnost u ovom obliku je nula. Stoga, računalna znanost osigurava uporabu broja 0 posebne karakteristike (bit). Integerski dio broja (najviša znamenka) mantisa u binarnom broju, osim nula u normaliziranom obliku je 1 (implicitna jedinica). Takav zapis koristi IEEE 754. Sustavi numeriranja, gdje je baza veća od dva (ternarna, kvartarna i druga sustava), ova svojstva nisu nabavljena.

Pravi brojevi

Brojevi s pomičnim zarezom obično su jedini način, jer to nije jedini, ali vrlo prikladan način da predstavlja pravi broj, kao što je to bio kompromis između raspona vrijednosti i preciznosti. Ovo je analogni eksponencijalni zapis koji je izvršen samo u računalu. Broj s pomičnim zarezom je skup pojedinačnih bitova odijeljen znakom, redom (eksponentom) i mantisom (mantis). Najčešći format IEEE 754 je broj s pomičnim zarezom kao skup bitova koji kodiraju jedan dio mantisa, a drugi dio je snaga, a jedan znak označava znak brojeva: nula je ako je pozitivna, jedinica ako je broj negativan. Cijeli red je napisan kao cijeli broj (kôd s pomakom), a mantis je u normaliziranom obliku, njegov dio je u binarnom sustavu.

Svaki znak je jedan bit, koji označava znak za potpuno broj s pomičnim zarezom. Mantis i red su cijeli brojevi, kombiniraju se s znakom i čine prikaz broja s pomičnim zarezom. Poredak se može nazvati eksponentom ili eksponentom. Nisu svi stvarni brojevi mogu biti zastupljeni u računalu u njihovom točnom značenju, dok ostatak predstavljaju približne vrijednosti. Mnogo jednostavnija varijanta predstavlja stvarni broj s fiksnom točkom, gdje se pravi i svi dijelovi pohranjuju zasebno. Najvjerojatnije, na takav način da se cijeli dio uvijek dodjeljuje X bita, a frakcije - Y bitova. Ali arhitekture procesora ne znaju ovu metodu, pa stoga prednost daje se broju s pomičnim zarezom.

dodatak

Dodavanje brojeva s pomičnim zarezom vrlo je jednostavno. U vezi sa standardom IEEE 754, jedinstvena preciznost broja ima ogroman broj bitova pa je bolje ići izravno na primjere, a bolje je uzeti najmanji prikaz broja s pomičnim zarezom. Na primjer, dva broja - X i Y.

Koraci su:

A) Brojevi moraju biti prikazani u normaliziranom obliku. Očito se pojavljuje skrivena jedinica. X = 1,110 ^. 2 ² i Y = 1.000 ^. 2 ⁰ .

B) Postupak dodavanja može se nastaviti samo izjednačavanjem eksponenata, a za to je nužno prepisati vrijednost Y. Ona će odgovarati vrijednost normaliziranog broja, iako će zapravo biti denormalizirana.

Izračunajte razliku eksponenata stupnja 2 - 0 = 2. Sada pomaknite mantisnicu da nadoknadite te promjene, tj. Dodajte 2 eksponentu drugog suma, tako da se zarez skrivene jedinice prebaci na dvije točke lijevo. To daje 0.0100 ^. 2 ² . To će biti ekvivalent prethodne vrijednosti Y, to jest već Y '.

C) Sada moramo preklopiti mantise broja X i prilagođene Y.

1,110 ± 0,01 = 10,0

Eksponent je još uvijek jednak prikazanom pokazniku X, koji je jednak 2.

D) Iznos koji je primljen u prethodnoj fazi pomaknuo je jedinicu normalizacije, pa morate prebaciti eksponent i ponoviti zbrajanje. 10,0 s dva bita lijevo od zarez, sada broj treba normalizirati, to jest, pomaknuti zarez lijevo za jednu točku i povećati eksponent za 1. To se ispostavlja da bude 1000 ^. 2 ³ .

E) Vrijeme je za pretvaranje broja s pomičnim zarezom u sustav jednog bajta.

zaključak

Kao što vidite, zbrajanje takvih brojeva nije previše teško, ništa što zareza ne pluta. Ako, naravno, ne uzmemo u obzir smanjenje broja s manjim eksponentom na veći broj (u primjeru s obzirom da je bio Y do X), kao i obnavljanje statusa quo, tj. Izdavanje kompenzacije - kretanje zarezom lijevo od mantisa. Kada je dodavanje već napravljeno, vrlo je moguće i još jedna poteškoća - renormalizacija i skraćivanje bitova, ako njihov broj ne odgovara formatu broja koji će ga predstavljati.

množenje

Binarni sustav nudi dva načina za umnažanje broja s pomičnim zarezom. Ovaj zadatak može se izvršiti množenjem, koji započinje znamenkama nižeg reda i koji počinje s najvišim znamenkama u multiplikatoru. Oba slučaja sadrže niz operacija, uzastopno zbrajajući privatne radove. Ove operacije dodavanja kontroliraju bitovi množitelja. Dakle, ako postoji jedna u jednoj od znamenki množitelja, tada se zbroj parcijalnih proizvoda povećava pomnožen s odgovarajućom smjenom. A ako se umnožava nula u množitelju, tada se umnožak ne dodaje.

Ako se umnoži samo dva broja, brojke proizvoda u svojoj količini ne mogu premašiti broj znamenki sadržanih u čimbenicima više od dva puta, a za velike brojeve to je vrlo, vrlo veliko. Ako se više brojeva pomnoži, tada se proizvod ne može postaviti na zaslon. Stoga je broj znamenki bilo kojeg digitalnog automata potpuno konačan, i to nas prisiljava da se maksimalno ograničimo na broj znamenaka totalizatora. A ako je broj znamenaka ograničen, pogreška neizbježno ulazi u rad. Ako je obujam računanja velik, onda se pogreške preklapaju i kao rezultat, ukupna se pogreška uvelike povećava. Ovdje je jedini izlaz za zaokruživanje rezultata množenja, a zatim će se greška u proizvodu izmjenjivati. Kada se izvrši operacija umnažanja, moguće je prijeći mrežu znamenki, ali samo s donjeg reda, budući da je ograničenje nametnuto brojevima koji su prikazani u točki s zarezom fiksni.

Neki objašnjenja

Bolje je najprije krenuti. Najčešći način predstavljanja broja je niz nizova kao cijeli broj, gdje se zarez misli na sam kraj. Ovaj niz može biti bilo koje duljine, a zarez je u njemu najpotrebnije mjesto, odvajajući cijeli broj od njegovog dijela. Format prikaza sustava u nepokretnoj točki nužno postavlja određene uvjete za mjesto zareza. Eksponencijalna oznaka koristi standardnu normaliziranu reprezentaciju brojeva. Ovo je aqn {\ displaystyle aq ^ {n}} aq ⁿ . Ovdje je {\ displaystyle a}, a ta čipka se naziva mantis. Samo o tome rečeno je da 0 ⩽ a n je cijeli broj, eksponent i q {/ displaystyle q} ^q je također cijeli broj, koji je osnova danog broja sustava (au pismu obično 10). Mantis će ostaviti zarez nakon prve znamenke, koja nije nula, ali podaci o stvarnoj vrijednosti broja prenose dalje u zapisu.

Broj s pomičnim zarezom vrlo je sličan standardnoj standardnoj oznaci za brojeve, samo se eksponent i mantis zasebno bilježe. Potonji je također u normaliziranom obliku - s fiksnom zarezom, koja krasi prvu značajnu figuru. Jednostavno plutajuća zarez koristi se uglavnom u računalu, tj. U elektronskom prikazu, gdje sustav nije decimalan, već binarn, gdje čak i mantis je denormaliziran zarezom - sada je prije prve znamenke, a zatim prije, a ne nakon toga, gdje cijeli dio U načelu, to ne može biti. Na primjer, naš prirodni decimalni sustav dati će svoje devet u binarni sustav za privremenu upotrebu. I napisat će ga s ovakvim ovakvim mantisom: +1001000 ... 0, i +0 ... 0100. No, decimalni sustav ne može proizvesti što je moguće složenije izračune u binarnom obliku, koristeći oblik plutajuće točke.

Duga aritmetička

Na elektroničkim računalima postoje ugrađeni softverski paketi, u kojima je programirana količina memorije dodijeljene za mantis i eksponent, ograničena samo na veličinu memorije računala. Ovo je koliko dugo izgleda aritmetička, tj. Jednostavna operacija na brojevima koje izvodi računalo. To su sve iste - oduzimanje i dodavanje, podjela i množenje, elementarne funkcije i montaža u korijen. Ali samo su brojevi potpuno različiti, njihova dubina bita može znatno premašiti duljinu računalne riječi. Provedba takvih operacija nije hardver, već softver, ali osnovni hardver široko se koristi za rad s numeričkim znatno nižim poretkom. Tu je i aritmetika, gdje je duljina brojeva ograničena samo na količinu memorije - proizvoljnu aritmetičku preciznost. Dugo aritmetika se koristi u mnogim područjima.

1. Za sastavljanje koda (procesori, nisko-bitni mikrokontroleri - 10 bita i 8-bitni registri bitova, to očito nije dovoljno za obradu podataka s analogno-digitalnim, pa stoga nemaju dugo aritmetika.

2. On je također dugo aritmetička se koristi za kriptografiju, gdje je to potrebno kako bi se osigurala točnost rezultata potenciranje ili umnožavanjem u ^10,309. Cijelih brojeva koristi se modulo m - veliki prirodni broj, a ne nužno i jednostavan.

3. Softver za financijera i matematičara, također, nije bez dugog aritmetika, jer je jedini način da provjerite rezultate izračuna na papiru - uz pomoć računala, čime se osigurava visoku točnost brojeva. Krajnja mogu uključivati bilo koji broj dugog iscjedak. No, inženjering izračune i rad znanstvenika potrebna intervencija izračune programa vrlo često, jer je vrlo teško napraviti ulaznih podataka bez pogrešaka. oni su obično mnogo veći volumen nego zaokruživanja rezultata.

Borba s pogreškama

Kada je broj operacija u kojoj je s pomičnim zarezom, vrlo je teško procijeniti točnost rezultata. još nije izumio zadovoljiti sve matematičku teoriju koja će pomoći riješiti ovaj problem. No, greška broj ocijeniti lako. Mogućnost dobivanja osloboditi od netočnosti na površini - samo koristiti samo broj fiksne točke. Na primjer, financijski program izgrađena na ovom principu. Međutim, postoje jednostavniji: potreban broj znamenki nakon decimalne točke je poznat unaprijed.

Ostali programi nisu ograničeni na, jer ne može raditi s bilo vrlo male ili vrlo velikom broju. Pa kada raditi uvijek uzima u obzir da postoji svibanj biti netočno, a zbog izvođenje rezultata potrebno je krug. Osim toga, automatsko zaokruživanje često nedostatak djelovanja, a time i zaokruživanje definira posebno. Vrlo opasno u tom smislu, rad usporedbu. Tu je čak i procijeniti iznos budućih pogrešaka je izuzetno teško.