Područje podnožja prizma: od trokuta do poligona

Različiti prizmi razlikuju se od drugih. Istovremeno, imaju mnogo zajedničkog. Da biste pronašli područje podnožja prizma, bit će potrebno razumjeti kakvu ima.

Opća teorija

Prizm je bilo koji polyhedron čije bočne strane imaju oblik paralelograma. U ovom slučaju, to može biti bilo koji polyhedron - od trokuta do n-gona. A podloge prizme uvijek su jednake jedna drugoj. Što se ne odnosi na bočna lica - one se mogu znatno razlikovati po veličini.

Prilikom rješavanja problema, susreće se ne samo područje podnožja prizme. Možda je potrebno poznavati bočnu površinu, tj. Svih lica koja nisu osnova. Kompletna površina već će biti spoj svih lica koja čine prizmu.

Ponekad u zadacima postoji visina. Okomita je na baze. Dijagonalni dio poliedra je segment koji povezuje dva vrška u parovima koji ne pripadaju istom licu.

Treba napomenuti da područje podnožja izravnog prizma ili kosi ne ovisi o kutu između njih i bočnim stranama. Ako imaju iste brojke na gornjim i donjim stranama, njihova će površina biti jednaka.

Triangularni prizmu

Na bazi ima figuru s tri vrška, tj. Trokut. Kao što znate, događa se drugačije. Ako je trokut pravokutan, onda je dovoljno podsjetiti da je njegovo područje određeno polovicom proizvoda nogu.

Matematička notacija je sljedeća: S = ½ av.

Da biste pronašli područje podnožja trokutastog prizma u općem obliku, bit će korisne sljedeće formule: Heron i onaj u kojemu se polovica strane uzima na visinu koja je privučena.

Prva formula treba napisati na sljedeći način: S = √ (p (p-a) (p-c) (p-c)). U ovom zapisu postoji polaperimetar (p), tj. Zbroj triju strana podijeljenih u dva.

Drugi: S = ½ n _a * a.

Ako želite znati područje podnožja trokutastog prizma, što je ispravno, onda je trokut jednakostraničan. Za njega postoji formula: S = ¼ a ² * √3.

Četvrtastog prizma

Njegova osnova je bilo koji od poznatih četverokuta. To može biti pravokutnik ili kvadrat, paralelopiped ili romb. U svakom slučaju, kako bismo izračunali područje podnožja prizma, trebamo našu vlastitu formulu.

Ako je baza pravokutnik, tada se njegovo područje definira kao: S = av, gdje a, i - strane pravokutnika.

Kada je riječ o četverokutnom prizmu, područje baze ispravnog prizma izračunava se formulom za kvadrat. Jer on je onaj koji leži na dnu. S = a ² .

U slučaju da je baza parallelepiped, potrebna je sljedeća ravnopravnost: S = a * n _a . Događa se da je strana paralelopipeda dana i jedan od uglova. Zatim, za izračun visine, moramo upotrijebiti dodatnu formulu: _a = b * grijeh A. Nadalje, kut A je u susjedstvu strane "c", a visina je suprotna tom kutu.

Ako romb leži u podnožju prizma, a zatim kako bi odredio njegovo područje, istu formulu bit će potrebno za paralelogram (budući da je to njegov konkretni slučaj). Ali možemo također koristiti: S = 1 d ₁ d ₂ . Ovdje su d1 i d2 dvije dijagonale rombusa.

Točan pentagonalni prizm

Ovaj slučaj uključuje razdvajanje poligona u trokute čije je područje lakše naučiti. Iako se događa da brojke mogu biti s različitim brojem vrhova.

Budući da je baza prizma redovna pentagon, može se podijeliti na pet jednakostraničnih trokuta. Zatim područje podnožja prizme je jednako području jednog takvog trokuta (formula se može vidjeti gore) pomnožena s pet.

Ispravi šesterokutni prizmu

Prema principu opisanom za pentagonalni prizm, moguće je razbiti šesterokut baze u 6 jednakostraničnih trokuta. Formula baznog područja takvog prizma je slična onoj prethodnoj. Samo u njemu područje jednakostraničnog trokuta treba pomnožiti sa šest.

Formula izgleda ovako: S = 3/2 i ² * √3.

zadaci

№ 1. Dati se ispravan ravni četverokutni prizm. Njegova je dijagonala 22 cm, visina poliedara je 14 cm. Izračunajte područje podnožja prizme i cijele površine.

Rješenje. Baza prizme je trg, ali njegova strana nije poznata. Pronađite svoju vrijednost može biti od dijagonale kvadrata (x), koji je povezan s dijagonalom prizme (d) i njezinom visinom (n). X2 = d2 - n2. S druge strane, ovaj segment "x" je hipoteza u trokutu, čije noge su jednake strani trga. To jest, x ² = a ² + a ² . Tako se ispostavlja da je ² = (d ² - ² ) / 2.

Da biste zamijenili d s 22, a "н" da biste ga zamijenili s 14, ispada da je strana trga 12 cm. Sada samo saznajte područje podnožja: 12 * 12 = 144 cm ² .

Da biste poznavali površinu cijele površine, trebate dodati dvostruko više vrijednosti osnovnog područja i četverostruke strane. Potonji se lako može naći iz formule za pravokutnik: pomnožite visinu poliedra i bočnu stranu baze. To jest, 14 i 12, taj će broj biti jednak 168 cm2. Ukupna površina prizme iznosi 960 cm2.

Odgovor. Područje podnožja prizme je 144 cm2. Cijela površina iznosi 960 cm2.

Ne. 2. Dati se ispravan trokutni prizm. U podnožju nalazi se trokut s bočnim stranama od 6 cm, a dijagonalna bočna lica je 10 cm. Izračunajte površine: osnovicu i bočnu površinu.

Rješenje. Budući da je prizam točan, baza je jednakostraničan trokut. Stoga je njegovo područje jednako 6 u kvadratu pomnoženo sa ¼ i kvadratni korijen od 3. Jednostavan izračun dovodi do rezultata: 9, 3 cm ² . To je područje jedne baze prizma.

Sva bočna lica su ista i predstavljaju pravokutnike sa stranama od 6 i 10 cm. Kako bi izračunali njihova područja, dovoljno je umnožiti ove brojeve. Zatim ih pomnožite s tri, jer postoji toliko mnogo bočnih rubova prizma. Zatim je površina bočne površine rana na 180 cm2.

Odgovor. Područje: baza je 9, 3 cm2, bočna površina prizme je 180 cm2.