To je tangenta na kružnicu? Svojstva tangente na kružnicu. Zajednički tangenta dviju kružnica

Secants, tangente - sve to stotine puta moglo čuti o geometriji lekcija. No, pitanje škole iza sebe, proći godine, a sve to znanje zaboravljeno. Što bih trebao zapamtiti?

suština

Izraz „tangenta na kružnicu” znak, možda, sve. No, malo je vjerojatno da će sve brzo formulirati definiciju. U međuvremenu se zove tangentu linije leži u istoj ravnini kao i krug koji ga presijeca na samo jedan bod. Njihova bezbroj mogu postojati, ali oni svi imaju ista svojstva, koja će biti objašnjeno u nastavku. Kao što ste mogli pogoditi, točka kontakta iz mjesta gdje je krug, a linija sijeku. U svakom slučaju, to je jedna, ako ima više, onda će biti transverzala.

Povijest otkrića i studije

Koncept tangente pojavio u antičko doba. Izgradnja ovih redaka na prvi krug, a zatim u elipse, parabole i hiperbola s ravnalom i šestarom održanoj još u ranim fazama razvoja geometrije. Naravno, povijest nije sačuvao ime pronalazača, ali jasno je da čak u to vrijeme ljudi su dobro poznati svojstva tangente na kružnicu.

U modernim vremenima interes za ovaj fenomen je izbio opet - započeo novi krug proučavanja ovog koncepta u suradnji s otvaranjem novih krivulja. Dakle, Galileo predstavio koncept cikloida i Fermat i Descartes izgradio tangente na njega. Što se tiče krugova, čini se, za drevne tajne ostavili na ovom području.

nekretnine

Radijus privučeni Sjecište će biti okomito na liniju. ovo glavni, ali ne i jedina imovina koja je tangenta na kružnicu. Još jedna važna značajka već uključuje dva ravno. Dakle, kroz jednu točku, koja se nalazi izvan kruga, moguće je izvući dva tangente, a njihovi duljine jednake. Postoji još jedan teorem o ovoj temi, ali rijetko se održava u okviru standardne školske godine, ali to je vrlo korisno za rješavanje određenih problema. To ide kako slijedi. S jedne točke koja se nalazi izvan kruga, crtanje tangente i sijeku na njega. Nastali segmenti AB, AC i AD. A - sjecište linija B točke tangencije, C i D - prijelaz. U tom slučaju, sljedeća jednadžba vrijedi: duljina tangente na kružnicu, kvadrat, jednak je proizvod od segmenata AC i AD.

Iz navedenog, postoji važna posljedica. Za svaku točku kruga, možete izgraditi tangente, ali samo jedan. Dokaz za to je vrlo jednostavan: u teoriji do ga okomito s radijusom, saznajemo da formira trokut ne može postojati. A to znači da je tangens - jedina.

zgrada

Među ostalim zadacima u geometriji je posebna kategorija, u pravilu, ne je ljubio po učenicima i studentima. Za rješavanje zadataka ove kategorije trebaju samo kompas i ravnalo. To je zadatak zgrade. Tamo su graditi na tangente.

Dakle, s obzirom na krug i točka leži izvan njenih granica. I morate kretati kroz njih tangente. Kako ćete to učiniti? Prije svega, potrebno je provesti interval između centra kružnice O i postaviti točku. Zatim, uz pomoć kompasa treba ga podijeliti na pola. Da biste to učinili, morate postaviti radijus - malo više od pola udaljenosti između središta kruga i originalne točke. Zatim morate izgraditi dva presijecaju lukove. Radijus na promjene ne bi trebao biti kompas, a središte svake strane kruga će biti izvorni točka, i O, respektivno. Mjesta lukovi križanja potrebno je spojiti taj odjeljak prepolovljena. Postavi na radijusu kompasa jednake udaljenosti. Nadalje, sa središtem na raskrižju izgraditi još jedan krug. To će se temeljiti i na izvornom mjestu i O. U tom slučaju, bit će dva križanja s ovim problemom u krug. To će biti točke kontakta za inicijalno određene točke.

zanimljivo

To je zgrada tangenta na kružnicu dovelo do rođenja diferencijalni račun. Prvi radovi na ovu temu objavljen je poznati njemački matematičar Leibniz. On predviđa mogućnost pronalaženja maxima, minimuma i tangente, bez obzira na nepotpune i iracionalnih količinama. Pa, sada se koristi za mnoge druge izračune.

Štoviše, tangenta na kružnicu povezan s geometrijskim tangencijalne smislu. To je od toga, a ime dolazi. Prevedeno s latinskog tangens - „tangenta”. Dakle, ovaj koncept nije samo geometrija i diferencijalni račun, ali s trigonometrije.

dva kruga

Ne uvijek tangenta zatragivet samo jedan lik. Ako možete potrošiti jako puno linija za jedan krug, zašto onda ne obrnuto? Mogući. To je samo problem u ovom slučaju je ozbiljno komplicirano, jer je tangenta na dva kruga ne može proći kroz bilo kojem trenutku, a relativni položaj svih tih brojki može biti vrlo drugačiji.

Vrste i sorte

Kada je riječ o dva kruga i jednog ili više redaka, onda čak i ako znate da je riječ o, nije odmah jasno kako su sve ove komade raspoređeni u odnosu na svaki drugi. Na temelju toga, postoji nekoliko varijanti. Dakle, krug može imati jednu ili dvije zajedničke točke, ili ih uopće. U prvom slučaju, oni će se preklapaju, a drugi - na dodir. I ovdje su dvije vrste. Ako jedan krug, kao što su ugrađeni u drugi, dodirni se zove unutarnja ako ne - onda van. Razumjeti relativni položaj od komada ne može biti samo na temelju crteža, ali ima informacije o zbroju njihovih polumjera i udaljenosti između njihovih centara. Ako se te dvije vrijednosti jednake, onda su krugovi dodir. Ako je prvi više - sijeku i na drugi način - nemaju dodirne točke.

Tako je i sa ravnih linija. Za bilo koja dva kruga koja nema zajedničke točke mogu biti
izgraditi četiri tangente. Dvije od njih će se preklapati između likova, oni su pozvani unutarnje. Nekoliko drugih - vanjski.

Ako govorimo o krugovima, koji imaju jedan bod zajedničko, problem ozbiljno pojednostavljen. Činjenica je da u svakom međusobnom dogovoru, u ovom slučaju tangenta će imati samo jedan. I to će proći kroz točku sjecišta. Tako da je zgrada neće uzrokovati poteškoće.

Ako su podaci su dvije točke raskrižja, onda oni mogu graditi linija tangenta na kružnicu kao jedan, a drugi, ali samo izvana. Rješenje ovog problema je slično onome što je objašnjeno kasnije.

Izazove

I unutarnje i vanjske tangenta dviju kružnica u zgradi nisu tako jednostavne, ipak, i taj problem je riješen. Činjenica da je pomoćni obrazac se koristi za to, tako shvatio takav način sami To je vrlo problematično. Dakle, s obzirom na dva kruga s različitim radijusima i centri O1 i O2. Za njih je potrebno izgraditi dva para tangente.

Prije svega, o sredini većeg kruga za izgradnju podržavaju. U isto vrijeme na kompas treba postaviti razliku između radijusa dva izvorna slika. Iz središta manjeg kruga tangenta na pomoćni izgrađena. Nakon toga od O1 i O2 se održavaju perependikulyary ti ravno do raskrižja s izvornim slikama. Kao što proizlazi iz osnovnih svojstava tangente, potrebna točke nalaze se na obje krugovima. Problem je riješen, barem u prvom dijelu.

Kako bi se izgraditi unutarnje tangente morati riješiti gotovo sličan problem. Opet, trebamo pomoćni lik, ali ovaj put njegov radijus je jednak zbroju izvornika. Za nju konstruirati tangentu od centra jednog od tih krugova. Daljnji tijek odluke može se shvatiti iz prethodnog primjera.

Tangenta na kružnicu, ili čak dva ili više - i nije tako težak zadatak. Naravno, matematičari odavno prestala riješiti slične probleme ručno i povjerenje izračunati posebne programe. Ali ne mislim da je sada ne mora nužno biti u mogućnosti to učiniti sami, jer za pravilnu formulaciji zadatka za računalo učiniti mnogo i razumjeti. Nažalost, postoji bojazan da će nakon konačne prijelaz na oblik test kontrole znanja problema na izgradnji uzrokovat će učenici sve više i više poteškoća.

Što se tiče pronalaženja zajedničke tangente na više krugova, to nije uvijek moguće, čak i ako oni leže u istoj ravnini. No, u nekim slučajevima moguće je pronaći takvu liniju.

primjeri Life

Zajednički tangenta dviju kružnica se često nalaze u praksi, iako to nije uvijek jasna. Transporteri, modularni sustavi, prijenos remenje kolotura, napetost niti u šivaćim strojem, ali čak i samo lanac bicikla - svi primjeri života. Dakle, ne mislim da su geometrijski problemi ostaju samo u teoriji: za inženjering, fizike, izgradnju i mnogim drugim područjima su u primjeni.