Derivat sinus kuta jednak kosinus istim kutom

Dana je jednostavna trigonometrija funkcija y = sin (x) je diferencijabilan u svakoj točki cijele domene. Moramo dokazati da je derivacija sinus bilo argument jednak je kosinus istim kutom, to jest, „= cos (x).

Dokaz se temelji na definiciji derivata funkcije

Mi definirati x (proizvoljne) u nekom malom susjedstvu određenoj točki x * H _0. Mi ćemo pokazati vrijednost funkcije u njemu, a na točki x pronaći prirasta određenom funkcijom. Ako §H - argument zbrajaju, novi argument - to x ₀ + Δx = x, vrijednost ove funkcije za danu vrijednost argumenta (x) je jednak sin (x ₀ + Δx), vrijednost funkcije na određenoj točki (x ₀₎ je također poznat ,

Sada imamo Δu = sin (x ₀ + * H) -Sin (x ₀₎ - dobivene inkrement funkciju.

Prema formuli sinus zbroja dva nejednaka kutova ćemo pretvoriti razliku Δu.

Δu = sin (x ₀₎ · Cos (* H) + Cos (x ₀₎ · Sin (Δx) minus sin (x ₀₎ = (Cos (Δx) -1 ) · Sin ( x ₀₎ + Cos (x ₀₎ · Sin (§H).

Izvodi permutaciono uvjeti grupirani prvi trećoj sin (x _0), izvađene iz općeg faktor - sinus - zagradi. dobili smo u ekspresijski cos razlike (* H) 1. To ostavi za promjenu znaka ispred zagrade i zagrade. Znajući što je jedan-Cos (* H), možemo napraviti promjenu i dobiti pojednostavljen izraz Δu, koji je zatim podijeljen s * H.
Δu / §H imati oblik: Cos (x ₀₎ · Sin (* H) / 2 * H · Sin ² (0,5 x §H) · sin (x ₀₎ / §H. To je omjer prirasta funkcije za prijem u prirasta argumenta.

Ostaje pronaći granicu omjera dobivenih nas u Lim * H, teži nuli.

Poznato je da se granica Sin (* H) / Δx je jednak 1, uz uvjet. A izraz 2 · Sin ² (0,5 x §H) / §H u krajnjim sum posebno transformacije na produkt koji kao prvi kombiniranja izvanredan granica: nazivniku frakcije i znemenatel podijeliti po 2, kvadrat sinus zamijeniti proizvod. Evo kako:
(Sin (0,5 · Δx) / (0,5 · Δx)) · Sin (Δx / 2).
Granica tog izraza kada §H teži nuli, će biti jednak broju nula (0 pomnožen 1). Ispada da je granica omjera Δy / §H je Cos (x ₀₎ · 1-0, to se Cos (x _0), ekspresija koja je neovisna o §H teži 0. zaključka: derivat sinus bilo kut jednak x kosinus x, može se zapisati kao: y „= cos (x).

Nastala formula navedena je u tablici poznatih derivata, gdje svi elementarnih funkcija

U rješavanju problema, gdje upoznaje derivat sinus, možete koristiti pravila diferencijacije i gotove formule za stolom. Na primjer: pronaći derivat najjednostavnijem funkcija y = 3 · sin (x) -15. Mi koristimo osnovnu izvod pravila uklanjanja numerički faktor za znak derivata i izračunati derivat konstantni broj (koji je nula). Primjenjuju sine tablica vrijednost derivata kut x jednak Cos (x). Primiti odgovor: y „= 3 · cos (x) = O. Ovaj derivat, s druge strane, također je osnovna funkcija y = H · Cos (x).

Derivat sinus kvadrat bilo argument

U izračun izražavanja (SIN ² (x)) mora se sjetiti kako diferencirane složenu funkciju. Dakle, ² = sin (x) - funkcija moć kao sinus na kvadrat. Njegov argument je također trigonometrijska funkcija, kompleks argument. Rezultat je u ovom slučaju jednak produkta prvog multiplikatora je kvadrat kompleksnog derivata rasprave, a drugi - derivat sinus. Ovdje je pravilo za razlikovanje funkciju funkcije: (u (v (x))) je (u (v (x))) · (v (x)). Izraz v (x) - kompleks argument (interni funkcija). Ako je dao funkcija "y jednak je sine kvadrat x", a onda je derivacija tog složenog funkcije je y „= 2 · sin (x) · cos (x). Produkt prvog multiplikatora udvostručio - derivati poznati eksponencijalne funkcije i Cos (x) - derivat sinus kompleks argument kvadratne funkcije. Konačni rezultat se može transformirati korištenjem formula trigonometrijskoj sinus dvostruke kuta. A: Sin derivat (2 · x). Ova formula je lako zapamtiti, često se koristi kao stol.