Euklidove peti postulat: tekst

Smatra se da je bilo prije 10 000 godina, prvi ljudska civilizacija. U usporedbi s dobi od naše planete, koji je, prema znanstvenicima, je oko 4,54 milijuna godina stara, to je samo kratki trenutak. Za ovu „trenutak” čovječanstvo je napravio veliki skok od primitivnih kamenih alata za međuplanetarne letjelice. On ne bi bilo moguće, ako se s vremena na vrijeme na planeti bi bio rođen genije, znanost kreće prema naprijed. Među njima je, naravno, odnosi Euklida. Njegova su djela postala temelj i snažan poticaj za razvoj moderne matematike.

Ovaj članak je o petom postulatu Euclid i njegove povijesti.

Kako je geometrija

Budući da su parcele bile su predmet najma, njihova veličina i područje prodaje i isporuke treba izmjeriti, uključujući i izračune. Osim toga, takvi izračuni postaju nužna u izgradnji velikih objekata, kao i mjerenje volumena različitih predmeta. Sve je to postalo preduvjeti prije 3-4 tisuća godina u Egiptu i Babilonu umjetnosti izmjere. To je empirijski i zbirka od nekoliko stotina primjera rješavanja specifičnih problema, bez ikakvih dokaza.

Kao sustavne znanosti geometrije razvio u staroj Grčkoj. Kao što je već prije Krista trećeg stoljeća došlo je do velike količine činjenica i metoda dokaza. Međutim, tu je nastao problem dovoljno veliko sažeti prikupljene geometrijski materijal. Pokušala je riješiti Hipokrat Fedii i druge drevne grčke filozofe. Međutim, logično je provjereno znanstveni sustav postojao je samo oko 300 godina prije Krista. e. s objavljivanjem „Principia”.

Tko je Euklid

Stara Grčka je dao svijet mnogi od najvećih filozofa i znanstvenika. Jedan od njih je Euklid, koji je postao osnivač aleksandrijske škole matematike. O znanstvenika gotovo ništa ne zna. Neki izvori navode da su mladi budućnost otac moderne geometrije studirao u poznatom školi Platona u Ateni, a potom se vratio u Aleksandriju, gdje je nastavio studij matematike i optike, kao i skladanja glazbe. U rodnom gradu je osnovao školu, gdje je, zajedno s učenicima i stvorio svoje poznato djelo, što je za više od dvije tisuće godina je temelj za bilo udžbenika na geometrija ravnine i čvrste geometrije.

„Elementi” od Euklid

Glavni i najveći prvi sustavni rad na geometriji se sastoji od 13 svezaka. Prve četiri i šesta knjiga bave geometrijom ravnine, i 11., 12. i 13. - čvrste geometrije. Što se tiče ostalih svezaka, oni su odani aritmetici, što je sa stanovišta geometrijskih postulata.

Uloga glavnog rad Euclid u kasnijem razvoju matematičkih znanosti ne može biti precijenjena. Postojeći popisi papirusa više od originala, kao i bizantski rukopisi.

U srednjem vijeku, „Elementi” od Euklida su proučavali uglavnom Arapi, koji ih čini jednim od najvećih djela ljudske misli i znanstvenika u Damasku uzeti u obzir. Mnogo kasnije ta djela zainteresirani Europljane. S dolaskom ispis znanosti, uključujući Euklidova geometrija više ne može poznata samo izabranih. Nakon prvog izdanja 1533. „Elementi” su na raspolaganju svima koji žele razumjeti svijet, a tu su još i više svake godine. Potražnja je stvorio zalihu, pa se vjeruje da je ovaj rad je drugi najčitaniji među spomenicima antike nakon Biblije.

neke značajke

„Elementi” opisuje metričkih svojstva trodimenzionalnih, prazan, neograničene i izotropni prostor, koji se obično naziva Euklidove. Smatra se da arenu gdje ima pojave klasične fizike Galileo i Newton.

Elementarna geometrijski objekt, u skladu s Euklidu je točka. Drugi važan pojam - beskonačnost prostora, koji se odlikuje prva tri postulata. Četvrti odnosi na jednakost pravim kutom. S obzirom na Euklidovim peti postulat, onda to određuje svojstva i geometriju euklidska prostora.

Prema znanstvenicima, klasična geometrija otac stvorio savršenog udžbenika, od kojih je studija isključuje bilo zabune materijala zbog načina na koji je njegova prezentacija. Konkretno, svaki volumen „Elementi” počinje s definicijom pojmova s kojima se susreću po prvi put. Konkretno, od prvih stranica 1. knjizi čitatelj sazna da je točka, crta, ravne i tako dalje. Ukupno ima 23 definicije potrebne za razumijevanje glavnih odredaba predstavljenog materijala u ovom temeljnom radu.

4. prvi aksiom i postuliraju Euklida

Nakon autor „Elementi” nudi rezultate koji su prihvaćeni bez dokaza. To je dijeli na aksioma i postulata. Prva grupa se sastoji od 11 tvrdnji da je čovjek poznat intuitivno. Na primjer, 8. aksiom da je cjelina veća od dijela, a prema prvim dvjema količinama, osim jednakog tri, međusobno jednake.

Nadalje, 5 uzrokuje Euklid postulira. Prva četiri glasi:

• iz bilo koje točke na bilo koji drugi, možete povući ravnu crtu;
• iz bilo kojeg centra svaki radijus je moguće opisati krug;
• ograničen linija može pružati kontinuirano pravocrtno;
• U redu kutovi su jednaki.

Euklidove peti postulat

Za više od dva tisućljeća, ova izjava više puta postao predmet pažnje matematičara. Ali prvo ćemo se upoznati sa sadržajem Euklidovim peti postulat. Dakle, u modernoj formulaciji to zvuči kao da je u avionu na raskrižju dva ravna jednostranog treće zbroj unutarnjih kutova manja od 180 °, zatim ovih redaka, a nastavlja se prije ili kasnije susresti na toj strani na kojoj se ta količina (količina) manje od 180 °.

Euklidove peti postulat, koji je tekst u različitim izvorima razlikuje od samog početka izazvao sport i želite to prevesti u kategoriju teorema izgradnjom zvuka dokaz. Usput, to je često zamijenjena drugom izrazu, u stvari, izumio je opsovao i također poznat kao aksiom Playfair. Ona glasi: na avion kroz točku koja ne pripada određenoj liniji može držati jedan i samo jedan pravac paralelan s ovim.

jezik

Kao što je već spomenuto, mnogi znanstvenici su pokušali drugačije izraziti ideju 5. postulat Euclid. Mnogi oblici su vrlo očite. Na primjer:

• konvergentne linije sijeku;
• postoji barem jedan pravokutnik, odnosno 4-kvadrat s četiri pravim kutom;
• svaka slika može biti proporcionalno povećana;
• postoji trokut vlasništvo bilo, proizvoljno velik prostor.

mane

Euklidska geometrija je najveći matematički djela antike pa sve do 19. stoljeća, on je vladao neizazvan iz matematike. Unatoč tome, neke od njegovih nedostataka uočene su čak i od strane suvremenika autora i starogrčkog znanstvenika, koji su pomalo živjeli kasnije. Konkretno, to je dodao novi Arhimedov aksiom, nazvan po njemu. Ona kaže da je cijeli broj n, što je n · [AB]> [CD] za sve segmente AB i CD.

Osim toga, znanstvenici su nastojali minimizirati sustav euklidske aksioma i postulata. Da biste to učinili, oni su neki od njih od ostalih.

Tako je uspio „riješiti” od 4. postulat jednakosti pravim kutom. Za njega, rigorozan dokaz je pronađena, pa se preselio u kategoriji teorema.

Povijest 5 postulat u antici i ranom srednjem vijeku

Klasična formulacija ove izjave euklidske geometrije izgleda puno manje očito nego ostala četiri. Upravo je ta činjenica progonila matematičari.

Kamen spoticanja za peti euklidske pretpostavka je definicija paralelizmu dviju linija a i b, navodeći da je zbroj dva jednostranih kutova koje su formirane na raskrižju A i B u treću uzastopnu linija C, što je jednako 180 stupnjeva.

Prvi pokušaj da se dokaže kao teorem izradio je grčkog geometer Posidonije. On predlaže da se izravno paralelno s ravninom skup svih točaka koje su jednako udaljene od originala. Međutim, ni to nije dopustio Posidonije pronašli dokaze 5. postulat.

Niti bez uspjeha i pokušajima drugih mathematicians, uključujući srednjovjekovne, kao što su Arapi ibn Korra i Hajjama. Jedina stvar koja je postignuta - pojava novih postulata, koji se može dokazati na temelju različitih pretpostavki.

U 18-19-og stoljeća

Klasična geometrija dalje biti zainteresirani za matematiku i 18. stoljeća. Konkretno, dovoljno blizu dokaz paralelnog postulat mogao doći francuski matematičar A. Legendre. On je napisao izvanredan udžbenik „Elementi geometrije”, što je oko 150 godina bio glavni nastave matematike u Ruskom Carstvu školama. U njoj znanstvenik dao tri opcije dokazati Euklidova paralelno aksiom, ali su svi ispalo da su netočni.

Do početka 19. stoljeća, ideja o stvaranju ne-euklidske geometrije. Prvi opis sustava, neovisno o petom postulatu, vodio vojni inženjer J. Bolyai. Ali on je bio uplašen svoje otkriće i nije slijediti ideju, vjerujući da krivo. Uspjeh nije bio u mogućnosti postići i veliki njemački matematičar Gauss.

proboj

Za više od 2000 godina Euklidovim peti postulat, dokaz koji je pokušao pronaći stotine znanstvenika, ostao broj jedan problem u matematici. Proboj je napravio ruski matematičar NI Lobachevsky. Za njega je svijet prvi uspio opisati svojstva realnom prostoru, dokazuje da euklidska geometrija „radi” samo u konkretnom slučaju njegova sustava.

N. I. Lobachevsky početku siđe isti put kao da je od njegovih kolega. Pokušavajući dokazati 5. postulat, on nije uspio. Tada je znanstvenik odbio Euklidova reprezentacije, prema kojoj su kutovi trokuta zbroj jednak 180 stupnjeva. Zatim je pokušao dokazati tu tvrdnju po suprotnosti i dobio novi tekst za peti postulat. Sada, on je priznao postojanje nekoliko linija paralelno s tim, i prolazi kroz točku koja leži izvan ove linije.

nova geometrija

To nema smisla raspravljati tko je učinio više za matematiku. Uloga Euclid i Lobachevsky usporedivom utjecaja na formiranje i razvoj Newton-a i Einsteinove fizike. U isto vrijeme, novi, apsolutna geometrija je moguće promatrati pojam prostora, odvajanja od klasične metode „može razumjeti samo ono što se može mjeriti.” No, takav pristup se prakticira u znanosti već tisućama godina.

Nažalost, ideje Lobachevskii geometrije nisu prihvatili i razumjeli njegovi suvremenici. Konkretno, njegovi učenici nisu nastavili rad znanstvenika, a razvoj ne-euklidske geometrije je odgođen za nekoliko desetljeća.

Neke značajke teorije Lobachevskii

Da bismo razumjeli novu geometriju, potrebno je uzeti u obzir kozmički beskraj. Doista, teško je zamisliti da je prostranstvo svemira je zbroj linearnih prostora.

Lobachevsky geometrija se koristi za opisivanje zakrivljene prostore koje su stvorene od strane gravitacijskim poljima galaksija. Ona je dopušteno odstupiti od metoda pozornost svih likova u „o pravom” cilindar, krug, piramide, ili bilo koje kombinacije tih oblika. Jer, na primjer, u stvarnosti, naš planet - bez lopte, a geoida, tj lik koji se dobiva kontura vanjske konture litosfere (tvrdi oklop) od Zemlje ...

U stvarnom životu, tu su i analozi zakrivljenim prostorima svemira, koji omogućuje da se uvede mogućnost postojanja nekoliko paralelnih linija smrti kroz istu točku. Naime, ova zakrivljena površina od tri vrste koje se dodjeljuju talijanski geometer beltrami i nazvan E. pseudosphere.

Daljnji razvoj teorije Lobachevsky

Izvanredna Ruska nije bio jedini koji se ne bi trebao apsolutnost euklidske geometrije. Konkretno, matematičar Riemann 1854. iznijela ideju o mogućnosti postojanja prostora nula, pozitivne i negativne zakrivljenosti. To je značilo da možete stvoriti beskonačan broj različitih ne-klasične geometrije.

Na Riemannovom položaju, koji je studirao uglavnom prostor s pozitivnom zakrivljenosti, 5. postulat Euclid zvuči prilično neočekivano. Prema njegovim idejama, kroz točku izvan danog liniji ne može obnašati bilo kakvu paralelu na ovo.

Sasvim drugačiji je slučaj s nula prostora, negativne i pozitivne zakrivljenosti Klein teoriji. Konkretno, u prvom slučaju su opisani od strane paraboličnim geometrije, poseban slučaj koji je klasičan, drugi - poštivati Lobachevskian ideje, a treći - u skladu s onima koje su opisane Riemann.

Nakon objave Alberta Eynshteyna teorije relativnosti, podnošenje takvih prostora nadopuniti podatke koji uzimaju u obzir postojanje četiri međusobno ovisne i mijenjaju mjerenja - težina, snaga, brzina i vrijeme.

u praksi

Ako idete na ljudske percepcije prostora unutar Zemljine orbite za div najvećoj mogućoj trokuta mogućim odstupanjem od zbroja unutarnjih kutova 180 stupnjeva klasične napraviti samo četiri milijuntinkama sekundi. Ova vrijednost je izvan dosega homo sapiensa, tako da je „zemaljski” Potražnja je euklidska geometrija.

Ostaje čekati dok se stvorili uvjeti koji omogućuju da se dobiju eksperimentalne podatke potvrditi ili opovrgnuti teoriju N. Lobachevsky i Riemann preko galaksije.

Sada znate da proglasi Euclid 's peti postulat i njegovu povijest, što je vrlo poučan, a omogućuje nam slijediti evoluciju ljudskog uma tijekom proteklih 2300 godina.