Fourier series: povijest i utjecaj matematičkog mehanizma za razvoj znanosti

Fourier series - ovaj pogled proizvoljno izabrana funkcija na razdoblje za redom. Općenito govoreći, ovo rješenje se zove element za proširenje na ortogonalnu osnovi. Širenje funkcija u Fourier series je vrlo moćan alat za rješavanje različitih problema zbog svojstva transformacije u integracije, diferencijacija, kao i promjenu u izrazu argument i konvolucija.

Osoba koja ne poznaje više matematike, kao i djela francuskog znanstvenika Fourier, najvjerojatnije neće razumjeti što je „redove” i što im je činiti. Ipak, ova transformacija je prilično čvrsto ušao naš život. Ona se koristi ne samo matematike, ali i fizičari, kemičari, liječnici, astronome, seizmolozi, oceanografi i drugi. Osvrnimo se bliži pogled s djela velikog francuskog znanstvenika koji su do otkrića, ispred svog vremena.

Muškarac i Fourierova transformacija

Fourier serija je jedna od metoda (zajedno s analizom i ostalih) u Fourierove transformacije. Ovaj proces se vrši svaki put kad osoba čuje nikakav zvuk. Naše uho automatski pretvara zvučni val. Oscilatorno gibanje elementarnih čestica u elastičnom mediju su prošireni u nizu (spektra) sukcesivnim vrijednostima za volumen tonova različite visine. Zatim mozak pretvara ove podatke u poznatim zvukovima za nas. Sve to je, pored naše želje ili same svijesti, ali kako bi razumjeli procese koji se nekoliko godina na studij veći matematike.

Pročitajte više o uri e rova transformacija

Fourierove transformacije može se provesti analitički, brojke i druge metode. Fourier series su broj procesa za razgradnju bilo oscilatorno procese - od oceanske plime i valova svjetlosti do solarnih ciklusa (i drugih nebeskih tijela) djelovanjem. Korištenjem ove matematičke tehnike, moguće je rastaviti funkciju, što predstavlja bilo oscilatorno procesa u nizu sinusnih komponenata koje idu od minimuma do maksimuma i obrnuto. Furieovoj transformirajućoj je funkcija opisuje fazu i amplitudu sinusoida odgovaraju određenoj frekvenciji. Ovaj proces se može koristiti za rješavanje vrlo složenih jednadžbi koje opisuju dinamičke procese koji nastaju pod djelovanjem topline, svjetlosti ili električne energije. Također, Fourier series koristi za razlikovanje DC komponente u složenim valnih oblika, tako da je moguće ispravno protumačiti eksperimentalnih zapažanja u medicini, kemiji i astronomiji.

povijesni podaci

Utemeljitelj ove teorije je francuski matematičar Zhan Batist Zhozef Fure. Njegovo ime kasnije i ova transformacija je pozvao. U početku, znanstvenici su koristili tehniku za proučavanje i objasniti mehanizme toplinske vodljivosti - širenje topline u čvrstih tijela. Fourier je predložio da je početna nepravilan distribucija toplinske vala može se rastaviti na jednostavne sinusoide, od kojih će svaki imati svoju temperaturu minimuma i maksimuma, kao i njegove faze. Tako svaki takav komponenta koja se mjeri od minimalne do maksimalne i obrnuto. Matematička funkcija koja opisuje gornji i donji vrhovi krivulje, kao i faza svaki harmonik, nazvan Fourierovu transformaciju raspodjele temperature izražavanja. Autor teorije smanjenja cjelokupne funkcije distribucije koji je teško matematički opis, u vrlo jednostavan za rukovanje niz periodičnih funkcija sinus i kosinus, u iznosu od davanja početnu distribuciju.

Princip pretvorbe i stavove suvremenika

Suvremenici znanstvenika - vodećih mathematicians iz ranog devetnaestog stoljeća - nije prihvatio ovu teoriju. Glavna zamjerka je odobrenje Fourier koji je rastrgao diskontinuirane funkcija opisuje ravnu liniju ili krivulja, može se prikazati kao zbroj sinusnih izraza koji su kontinuirani. Kao primjer, razmislite o „korak” Heaviside: njegova vrijednost je nula s lijeve strane jaza i jedan na desnoj strani. Ova funkcija opisuje ovisnost struje o vremenu varijable za lanac zatvaranja. Suvremena teorija u to vrijeme, nikada nije susreo s takvom situacijom, kada diskontinuirani izraz će biti opisan kombinacijom kontinuirane, zajedničke funkcije, kao što su eksponencijalno, sine, linearni ili četvrtast.

Što smeta francuski mathematicians u teoriji Fourier?

Uostalom, ako matematičar bio u pravu raspravljati, dakle, zbrajanjem beskonačno trigonometrijski Fourierov red, to je moguće dobiti točan prikaz koraka izražavanja, čak i ako ima niz sličnih koraka. U ranom devetnaestom stoljeću, ova izjava se činilo apsurdnim. No, unatoč svim sumnjama, mnogi matematičari proširio opseg istraživanja ovog fenomena, da se kreće izvan provođenja istraživanja termalnih. Međutim, većina znanstvenika i dalje trpjeti pitanje: „Može li zbroj sinusni val serije konvergira točnom vrijednosti diskontinuirane funkcije”

Konvergencija Fourier series: primjer

Pitanje konvergencije diže svaki put kad je potrebno sumiranje jednog beskonačnog niza brojeva. uzeti u obzir klasičan primjer za razumijevanje ovog fenomena. Može li ikada doći do zida, ako svaki korak je pola prethodne? Pretpostavimo da su dva metara od cilja, prvi korak bliže oko pola puta, sljedeći - Znak tri četvrtine, a nakon petog, od vas će prevladati gotovo 97 posto na putu. Međutim, bez obzira na to koliko koraka ste učinili niti je namijenjen meta dođete u strogom matematičkom smislu. Pomoću numeričke proračune, možemo dokazati da na kraju može biti bliže proizvoljno malom određenom razmaku. To je ekvivalentno dokaz koji pokazuje da je ukupna vrijednost jedne polovine, četvrtine, i tako dalje. E. imaju tendenciju da će jedinstvo.

Pitanje konvergencije: Drugi dolazak, ili instrument Lord Kelvin

Opetovano se pitanje u kasnom devetnaestom stoljeću, kada je Fourierova serije su pokušali koristiti predvidjeti intenzitet ebbs i tokova. U to vrijeme, lord Kelvin je izumio uređaj je analogno računalo koje je omogućilo mornara mornarica i pomorske monitor je prirodni fenomen. Ovaj mehanizam je definiran skup faza i amplituda visine stola od plime i odgovarajućih vremenskih trenutaka, pažljivo mjeri u luci tijekom cijele godine. Svaki parametar je sinusoide izraz komponenta plima visine i jedan od redovitih komponenti. Rezultati mjerenja su ulaz u računalni uređaj Lord Kelvin, sintezu krivulju koja predviđeni visinu vode u funkciji iduće godine. Vrlo brzo, ovi su krivulje za sve luke svijeta.

A ako proces će biti slomljena diskontinuirani funkciju?

U to vrijeme, bilo je očito da je uređaj za predviđanje plimni val, s mnogo elemenata računa može izračunati veliki broj faza i amplituda, i tako pružiti više točno predviđanje. Ipak, ispostavilo se da se to više ne promatra u slučajevima u kojima je plimni izraz koji će se sintetizirati, sadržanih oštar skok, to jest, diskontinuirane. U slučaju da je uređaj za unos podataka iz tablice vremenskim točkama, izračunava nekoliko koeficijenata Fourierova. Oporavak izvornog funkciju zbog sinusnog komponente (u skladu s pronađenih koeficijentima). Raskorak između osnovnog i rekonstruirane izražavanja može se izmjeriti u svakoj točki. Kada se ponoviti izračune i usporedbe može se vidjeti da je vrijednost od najveće pogreške se ne smanjuje. Međutim, oni su lokalizirane u području koje odgovara točki loma, i bilo koje druge točke imaju tendenciju da se nula. U 1899, ovaj rezultat je potvrđeno teoretski Jošua Willard Gibbs sa Sveučilišta Yale.

Konvergencija Fourier series i razvoj matematike u cjelini

Fourierova analiza ne odnosi na izraze koji sadrže bezbroj rafala u određenom intervalu. U općem Fourier series, ako je izvorna funkcija predstavlja rezultat stvarnih fizičkih mjerenja, uvijek isticati. Pitanja konvergencije tog procesa za pojedine klase funkcija doveli su do novih grana matematike, kao što su teorije općih funkcija. Ona je povezana s imenima kao što su Schwartz, J .. Mikusiński i J. Temple. Prema ovoj teoriji, jasan i precizan teorijska osnova za takvo izražavanje je osnovana kao delta funkcija Dirac (opisuje regiju jednom području, te koncentriran u infinitezimalni susjedstvu točke) i „korak” Heaviside. Kroz ovaj rad Fourier series postao primjenjiv za rješavanje jednadžbi i probleme koji uključuju intuitivno pojmove: točka naboja, točka masovne, magnetski dipoli, a koncentrirana opterećenja na gredi.

metoda Fourier

Fourier series, u skladu s načelima smetnji, početi s razgradnjom složenih oblika u jednostavnije. Na primjer, promjene u toplinski tok zbog prolaska kroz razne prepreke u toplinskim izolacijskim materijalom nepravilnog oblika ili promjenom površine tla - potresa, promjene u orbiti nebeskog tijela - utjecaj planeta. Obično, ove jednadžbe koje opisuju jednostavan klasični sustav elementarnih riješiti za svaku pojedinu valnu duljinu. Fourier je pokazao da jednostavna rješenja može se sažeti kao i za složenije zadatke. Na jeziku matematike, Fourier series - metodologija za podnošenje izraz zbroj harmonijskog - kosinusu i sinusnih valova. Dakle, ova analiza je također poznat pod imenom „harmonijska analiza”.

Fourier series - idealan način za „računalno doba”

Prije stvaranja računalne tehnologije Fourierova metoda je najbolje oružje u arsenalu znanstvenika koji rade na valnoj prirodi našeg svijeta. Fourierova serije u kompleksnom obliku omogućuje ne samo riješiti jednostavne probleme koji su pogodni za izravnu primjenu Newtonovih zakona mehanike, ali i temeljne jednadžbe. Većina otkrića Newtonove znanosti devetnaestog stoljeća postalo je moguće samo zbog Fourierova metoda.

Fourierova serije danas

S razvojem Fourierove transformacije računala su porasle na novu razinu. Ova tehnika je čvrsto ukorijenjena u gotovo svim područjima znanosti i tehnologije. Kao primjer, digitalni audio i video. Njegova provedba je napravio moguć samo zahvaljujući teoriji razvijenog od strane francuskog matematičara početkom devetnaestog stoljeća. Dakle, Fourierova serije u kompleksnom obliku je dozvoljeno napraviti iskorak u istraživanju svemira. Osim toga, to je utjecao na studiju fizike poluvodičkih materijala i plazme, mikrovalne akustike, oceanografije, radar, seizmologije.

Trigonometrijska Fourier series

U matematici, Fourier serija je način prikazivanja proizvoljne složene funkcije kao zbroj jednostavnije. U općim slučajevima, broj izraza može biti beskonačan. Što je veći broj broje u izračunu, točniji konačni rezultat postiže. Najčešća uporaba jednostavnog trigonometrijske kosinusu ili sinus funkcije. U tom slučaju, Fourier serija se zove trigonometrijska, a odluka takvih izraza - harmonijske razgradnje. Ova metoda ima važnu ulogu u matematici. Prije svega, trigonometrijski serije osigurava sredstva za slike, kao i proučavanje funkcija, to je glavna jedinica teorije. Osim toga, to nam omogućuje da riješiti niz problema u matematičkoj fizici. Na kraju, ova teorija je pridonio razvoju matematičkih analiza, to dovelo do niza vrlo važnih grana matematičke znanosti (teorija integrali, teorija periodičnih funkcija). Osim toga, polazište za razvoj sljedećih teorija: setovi, funkcije pravi varijable, funkcionalne analize, a također postavio temelje za harmonijsku analizu.