Dijagonalni jednakostraničan u obliku trapeza. Što je srednja linija trapeza. Vrste trapeza. Trapez - to ..

Trapez - poseban slučaj četverokut, u kojem je jedan par strana je paralelna. Izraz „u obliku trapeza” dolazi od grčke riječi τράπεζα, što znači „stol”, „stol”. U ovom članku ćemo pogledati vrsta trapeza i njegovih svojstava. Također, gledamo kako izračunati pojedine elemente geometrijske figure. Na primjer, dijagonale jednakostraničnog trapeza, srednje linije, prostor i drugi. Materijal sadržan u osnovnoj geometrije popularnom stilu, t. E. U lako dostupan način.

pregled

Prvo, neka je shvatiti što je četverokut. Ova brojka je poseban slučaj poligon ima četiri strane i četiri vrhova. Dva vrhovi četverokuta, koji nisu susjedni, zovu suprotno. Isto se može reći dvije ne-susjedne strane. Glavne vrste četverokuta - paralelogram, pravokutnik, romb, kvadrat, trapez i deltoidnu.

Dakle, natrag na trapez. Kao što smo rekli, ta brojka su dvije strane paralelne. Oni se zovu baze. Druga dva (ne-paralelna) - sa strane. Materijali različitih ispita i ispita često možete susresti izazove povezane s trapeza čije rješenje često zahtijeva znanje studenta koji nije pokriven programom. Škola geometrija Tečaj upoznaje učenike s kutem svojstvima i dijagonala, kao i središnjoj crti jednakokračnog trapeza. No, osim onih navedenih geometrijski oblik ima i druge značajke. No, o njima kasnije ...

vrste trapez

Postoje mnoge vrste tu brojku. Međutim, najčešće uobičajeno uzeti u obzir dvije od njih - jednakokračan i pravokutan.

1. Pravokutni trapezoid - lik u kojoj jedan od strane okomito na bazu. Ona ima dvije kutovi su uvijek jednaka devedeset stupnjeva.

2. jednakokračan trapez - geometrijski lik čije strane su jednake. Dakle, i kutovi u podnožju također su jednaki.

Glavni principi metoda za proučavanje svojstava trapeza

Osnovna načela uključuju korištenje tzv zadatak pristupa. U stvari, nema potrebe ulaziti u teorijskom naravno geometriju novih svojstava ovoj slici. Oni mogu biti otvorene ili u procesu formuliranja razne zadatke (bolji sustav). Vrlo je važno da nastavnik zna koje zadatke trebate staviti ispred studenata u bilo kojem trenutku u procesu učenja. Štoviše, svaki trapezoidnog oblika imovine može se prikazati kao ključni zadatak u zadacima sustava.

Drugi princip je takozvani spiralni organizacija studija „izvanredne” trapez svojstva. To podrazumijeva povratak u procesu učenja individualnim značajkama geometrijskog lika. Dakle, studenti lakše ih zapamtiti. Na primjer, svojstvo od četiri boda. To se može dokazati kako u istraživanju sličnosti i nakon toga pomoću vektora. A jednakih trokuta susjedan strane slike, moguće je pokazati pomoću ne samo svojstva trokuta s jednakim visina provodi na stranama koje leže na ravnoj liniji, ali i pomoću formule S = 1/2 (ab * sinα). Nadalje, moguće je raditi zakon sines za upisane trapeza ili pravokutnog trokuta i trapeza opisanog u t. D.

Korištenje „izvanškolske” ima geometrijski lik u sadržaju školske godine - što je tasking njihove tehnologije nastavu. Stalno pozivanje na proučavanje svojstava prolaska drugoga omogućuje studentima naučiti trapez dublje i osigurava uspjeh zadatka. Dakle, možemo prijeći na proučavanje ove izvanredne slici.

Elementi i svojstva jednakokračnog trapeza

Kao što smo naveli, u ovom geometrijski lik strane jednaki. Ipak, to je poznato kao pravi trapeza. A što je to tako izvanredan i zašto je dobio ime? Posebnost ovog lika odnosi da ona ima ne samo jednake strane i kutova u bazi, ali i dijagonalno. Osim toga, zbroj kutova jednakokračnog trapeza je jednak 360 stupnjeva. Ali to nije sve! Samo oko jednakokračan se može opisati krug svih poznatih trapeza. To je zbog činjenice da je zbroj suprotnih kutova na ovoj slici je 180 stupnjeva, a samo pod ovim uvjetima može se opisati kao krug oko četverokuta. Sljedeći svojstva geometrijskog lika je da je udaljenost od vrha baze do projekcije suprotnih vrhova na liniji koja sadrži ova baza će biti jednaka sredini.

Sada pogledajmo kako pronaći kutove jednakokračnog trapeza. Razmislite rješenje za ovaj problem, pod uvjetom da je veličina stranaka poznat lik.

odluka

Uobičajeno je da označi četverokuta slova A, B, C, D, gdje BS i AT - temelj. U jednakokračnog trapeza strane su jednake. Pretpostavimo li da je njihova veličina jednaka X i Y dimenzije su baze i Z (manji i veći, redom). Za izračun kuta potrebno provesti u visini H. rezultat je pravokutan trokut ABN gdje AB - je dužina hipotenuze i BN i AN - noge. Izračunati veličinu noge AN: oduzimaju od veće baze minimalnom, a rezultat se dijeli s 2. objavu formule: (ZY) / 2 = F. A, izračunati oštri kut od korištenja trokut funkcija cos. Dobivamo sljedeći unos: cos (β) = X / F. Sada izračunava kut: β = Arcos (X / F). Nadalje, znajući jedan kut, možemo odrediti i drugi, kako bi ovaj osnovnu aritmetičke operacije: 180 - beta. Svi kutovi su definirani.

Tu je i drugi rješenje za ovaj problem. Na početak je izostavljen iz kornera u visini nogu N. izračunava vrijednost BN. Znamo da je kvadrat hipotenuze pravokutnog trokuta jednak je zbroju kvadrata na ostale dvije strane. Mi smo dobili: BN = √ (x 2 F2). Dalje, mi koristimo trigonometrijskih funkcija TG. Rezultat je: β = arctg (BN / F). Zašiljenost nalazi. Zatim definiramo tupi kut, kao u prvom postupku.

Vlasništvo dijagonala jednakokračnog trapeza

Prvo, mi pisati četiri pravila. Ako dijagonale u jednakokračnog trapeza su okomito, a zatim:

- visina slike je jednak zbroju baza, podijeljena s dva;

- visok, a srednje linije jednaka;

- površina trapeza jednaka kvadratom visine (na središnjoj liniji pol baza);

- trg dijagonali kvadrata je jednaka polovici zbroju dvostruko trga bazama ili osi (po visini).

Sada pogledajte formula definira dijagonale jednakostraničnog trapeza. Taj podatak može se podijeliti u četiri dijela:

1. Formula dijagonalno preko dužine sa strane.

Pretpostavljamo da je A - niže baze, b - Top C - jednake strane, D - dijagonala. U tom slučaju, dužina može se odrediti na sljedeći način:

D = √ (C2-A * + B).

2. Formula za dijagonalno duljinu kosinus.

Pretpostavimo li da je A - niže baze, B, C - Vrh - jednake strane, D - koso, a (na donjem baze) i ß (gornja baza) - trapeznih uglovima. Dobivamo sljedeću formulu, na koji se može izračunati dužinu dijagonale:

- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosα);

- D = √ (A2 + S2-2A * C * cos);

- D = √ (B2 + S2-2V * C * cos);

- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosα).

3. Formula dijagonale dužina jednakokračnog trapeza.

Pretpostavimo li da je A - niža baze, B - gornji, D - dijagonala, M - središnja linija H - visina, P - površina trapezoidnog, a te β - kut između dijagonale. Odrediti duljinu od sljedećih formula:

- D = √ (M2 + N2);

- D = √ (H + 2 (A + B) 2/4);

- D = √ (N (A + B) / sinα) = √ (2n / sinα) = √ (2M * N / sinα).

Za ovaj slučaj, jednakost: sinα = sinβ.

4. Formula dijagonalno kroz duljinu strane i visine.

Pretpostavimo li da je A - niže baze, B - Vrh, C, D - strana - dijagonale, H - visina, α - kut s donjom bazom.

Odrediti duljinu od sljedećih formula:

- D = √ (H + 2 (A-P * ctgα) 2);

- D = √ (H2 + (B + F * ctgα) 2);

- D = √ (A2 + S2-2A * √ (C2-H2)).

Elementi i svojstva pravokutnog trapeza

Pogledajmo što su zainteresirani za ovaj geometrijski lik. Kao što smo rekli, imamo pravokutni trapeza dvije prave kutove.

Osim klasičnog definiciji, tu su i drugi. Na primjer, pravokutnog trapezoid - trapezoid u kojem je jedna strana okomito na bazu. Ili oblika koji imaju na bočnim kutovima. U ovoj vrsti visine trapeza je strana koja je okomita na bazama. Srednji red - segment koji povezuje polovišta dviju strana. Objekt navedenog elementa je da je paralelno s bazama i jednaka polovini njihove sume.

Sada ćemo razmotriti osnovne formule koje definiraju geometrijske oblike. Da biste to učinili, možemo pretpostaviti da su A i B - baza; C (okomito na osnovicu), a D - strane pravokutnog trapeza, M - srednje linije, a - šiljasti kut, P - području.

1. Bočni okomito na bazama lik jednaka visini (C = N), a jednaka duljinu drugog bočnog A i sinus kutom a u većem baze (C = A * sinα). Štoviše, on je jednak produkta tangens akutnih kutom, a razlika u bazama: C = (A-B) * tgα.

2. strana D (nije okomito na bazu) jednak kvocijentu razlike A i B i kosinusa (a) ili pod oštrim kutom prema privatnom visine figure H i sinusnog oštri kut: A = (A-B) / cos α = C / sinα.

3. strana koja je okomita na bazama, jednak korijenu kvadrata razlika, D - druga strana - i kvadratni baza razlike:

C = √ (q2 (A-B) 2).

4. Bočni Pravokutna trapezna jednak korijenu kvadratnog zbroj kvadrata strane i C baza geometrijski oblik razlika: D = √ (C + 2 (A-B) 2).

5. strana C je jednak kvocijentu kvadratnog dvostrukog zbroja svojih baza: C = P / M = 2P / (A + B).

6. Područje definirano M proizvoda (središnje linije trapeza pravokutnim) u visinu ili bočnom smjeru okomitom na bazi: P = M * N = M * C

7. Položaj C je kvocijent dvostruko kvadrata proizvodom sine šiljasti kut a zbroj svojih baza: C = P / M * = sinα 2P / ((A + B) + sinα).

8. Spoj formule strana pravokutne trapeza kroz dijagonale i kut između njih

- sinα = sinβ;

- C = (D1 * D2 / (A + B)) * sinα = (D1 * D2 / (A + B)) * sinβ,

gdje D1 i D2 - dijagonale trapeza; α i β - kut između njih.

9. Spoj formule strane pod kutom na donjoj bazi i drugi: A = (A-B) / C = cosα / sinα = H / sinα.

Budući da je u obliku trapeza s pravim kutom je poseban slučaj trapeza, s druge formule koje određuju ove brojke, zadovoljiti će i pravokutni.

Nekretnine incircle

Ako je uvjet je rekao da je u pravokutnom trapezoidnog upisane kružnice, onda možete koristiti sljedeća svojstva:

- količina baze je zbroj strane;

- udaljenost od vrha pravokutnog oblika na mjestima tangencije upisane kružnice je uvijek jednak;

- visina trapeza jednaka strane, okomito baza, a jednaka promjeru kruga ;

- krug centar je točka u kojoj se sijeku simetrale kutova ;

- ako je bočna strana dodiru je podijeljen u duljinama N i M, tada se radijus kružnice jednak korijenu produkta tih segmenata;

- četverokut formirana od točke dodira, na vrhu trapeza i središte upisane kružnice - to je kvadrat čija strana je jednaka polumjeru;

- područje na slici je proizvod razuma i proizvoda od polovine sume baza na svom vrhuncu.

Slično trapez

Ova tema je vrlo korisno za proučavanje svojstava geometrijskih likova. Na primjer, dijagonale podijeljen u četiri trokuta trapeza, te su uz baze slično, i na strane - od jednake. Ova izjava može nazvati svojstvo trokuta, što je slomljena trapez njegove dijagonale. Prvi dio ovog izvješća dokazuje kroz znak sličnosti dva ugla. Da bi dokazali drugi dio bolje je koristiti metodu izloženu u nastavku.

dokaz

Prihvati ta brojka ABSD (AD i BC - temelj trapeza) je slomljen dijagonala HP-a i AC. Točka sjecišta - O. Mi smo dobili četiri trokuta: AOC - na niže baze, origami - gornja baza, ABO i Sod sa strane. Trokuti SOD i biofeedback imaju zajedničku visinu u tom slučaju, ako su segmenti BO i OD su njihove baze. Nalazimo da je razlika njihovih površina (P) jednaka razlici od tih segmenata: PBOS / BO = PSOD / ML = K. Prema tome, PSOD = PBOS / K. Isto tako, trokuti AOB i biofeedback imaju zajedničku visinu. Prihvaćen za baznih dijelova SB i OA. Dobivamo PBOS / PAOB = CO / OA = K i PAOB = PBOS / K. Iz toga slijedi da PSOD = PAOB.

Za konsolidaciju materijalne studenti se potiču pronaći vezu između područja trokuta, kojeg se pokvario trapez njegove dijagonale, odlučujući sljedeći zadatak. Poznato je da trokuti Bos i ADP područja su jednaki, potrebno je pronaći područje s trapeza. Jer PSOD = PAOB, zatim PABSD PBOS + PAOD + 2 * PSOD. Zbog sličnosti trokuta i BOS Anm slijedi da BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Prema tome, PBOS / BO = PSOD / OD = √ (PBOS / PAOD). Dobiti PSOD = √ (* PBOS PAOD). Zatim PABSD PBOS + PAOD + 2 * √ (PAOD PBOS *) = (+ √PBOS √PAOD) 2.

svojstva sličnosti

Nastavljajući razvijati ovu temu, to je moguće dokazati, i druge zanimljive značajke trapeza. Dakle, uz pomoć sličnosti može dokazati segment nekretnina, koji prolazi kroz točku formira sjecištu dijagonala geometrijskog lika, paralelno sa zemljom. Za to ćemo riješiti sljedeći problem: potrebno je pronaći RK segment duljine koja prolazi kroz točku O. Iz sličnosti trokuta ADP i SPU slijedi da je AO / OS = AD / BS. Zbog sličnosti trokuta ADP i ASB slijedi da AB / AC-PO / AD = BS / (BP + BS). To znači da je BS * PO = AD / (AD + BC). Slično tome, zbog sličnosti trokuta MLC i slijedi da DBG redu * BP = BS / (BP + BS). To znači da je OC i RC = RC = 2 * * BS AD / (AD + BC). Segment prolazi kroz Sjecište paralele dijagonale do osnovice i spaja dvije strane je sjecište je podijeljen na dva dijela. Njegova dužina - je harmonijska sredina razloga figure.

Uzeti u obzir sljedeće karakteristike trapeza, koji se zove svojstvo četiri boda. točka sjecištu dijagonala (D), presjek nastavka strane (E) kao sredine baze (T i G) se uvijek leže u istoj liniji. Lako je dokazati sličnost. Rezultirajući trokuta su slični i BES AED, te uključujući i medijan ET DLY podijeli na šiljasti kut E na jednake dijelove. Stoga, točka E, T i F su kolinearna. Slično tome, na istoj liniji su raspoređeni u odnosu na T, O i G. To proizlazi iz sličnosti trokuta i BOS Anm. Stoga možemo zaključiti da su sva četiri uvjeti - E, T, O i F - će ležati na ravnoj liniji.

Koristeći slične trapeza, može ponuditi i učenicima pronaći duljinu segmenta (LF), koja dijeli sliku na dva dijela kao što je. Ovaj rez mora biti paralelno sa bazama. Od primljenog trapezoidnog ALFD LBSF i slično, BS / LF = LF / AD. To znači da LF = √ (BS * BP). Zaključujemo da je segment koji se dijeli na dva trapeza kao, ima duljinu koja je geometrijska sredina duljina baza shvatiti.

Razmotrite sljedeće svojstvo sličnosti. Na svojoj bazi nalazi se segment koji dijeli trapezoid na dvije jednake veličine. Pretpostavljamo da je trapezoid ABSD-a podijeljen s dijelom EH u dvije slične. Visina je ispala iz vrha B, koja je podijeljena sa segmentom EH u dva dijela - B1 i B2. Dobivamo: PABSD / 2 = (BS + EH) * B1 / 2 = (AD + EH) * B2 / 2 i PABSD = (BS + AD) * (B1 + B2) / 2. Zatim sastavljamo sustav čija je prva jednadžba (BS + EH) * B1 = (AD + EH) * B2 i drugi (BS + EH) * B1 = (BS + AD) * (B1 + B2) / 2. Stoga slijedi da B2 / B1 = (BS + EH) / (AD + EH) i BS + EH = ((BS + AD) / 2) * (1 + B2 / B1). Dobivamo da je duljina segmenta koja dijeli trapezoid na dva jednaka dijela jednaka srednjoj dužini korijena: √ ((BS2 + AD2) / 2).

Zaključci o sličnosti

Tako smo dokazali da:

1. Segment koji se spaja na trapezu sredine bočnih stranica paralelan je s arterijama i BS i jednak je aritmetičkoj sredini BS i AD (duljina baze trapeza).

2. Crta koja prolazi kroz točku O raskrižja dijagonala paralelnih s AD i BS bit će jednaka srednjoj harmonici brojeva AD i BS (2 * BS * AD / (BS + AD)).

3. Segment koji dijeli trapezoid na slične ima duljinu prosječnih geometrijskih baza BS i AD.

4. Element koji dijeli sliku na dva jednaka dijela ima duljinu srednjeg kvadrata brojeva AD i BS.

Kako bi se konsolidirao materijal i shvatio povezanost između ispitanih segmenata, student treba izgraditi ih za određeni trapezoid. Jednostavno se može prikazati srednja linija i segment koji prolazi kroz točku O - sjecište dijagonala na slici - paralelno s bazama. Ali gdje će biti treći i četvrti? Taj će odgovor voditi učenika na otkriće željene veze između srednjih vrijednosti.

Segment koji povezuje polumjere dijagonala trapeza

Razmotrite sljedeće svojstvo ove figure. Pretpostavljamo da je segment MN paralelan s bazama i dijeli dijagonalu na pola. Točke sjecišta bit će nazvane W i W. Ovaj segment će biti jednak poluprlici osnovne. Neka nam to detaljnije analiziramo. MS je srednja linija trokuta ABC, jednaka je BS / 2. MN je srednja linija trokuta ABD, jednaka AD / 2. Tada dobivamo da M, = MN-MN, i time M, = A / 2-BC / 2 = (AD + BC) / 2.

Težište

Pogledajmo kako je ovaj element definiran za određenu geometrijsku figuru. Zbog toga je potrebno proširiti baze u suprotnim smjerovima. Što to znači? Potrebno je dodati na gornju bazu donji - na obje strane, na primjer, s desne strane. I dno se proširuje duljinom gornje lijeve strane. Zatim ih povežite s dijagonalom. Točka presjeka ovog segmenta s srednjom linijom lik je središte gravitacije trapeza.

Upišeni i opisani trapezi

Navedimo značajke takvih likova:

1. Trapezoid se može upisati u krug samo ako je jednoznačno.

2. Oko opsega može se opisati trapezoid, pod uvjetom da je zbroj duljina njihovih baza jednak zbroju duljina bočnih stranica.

Posljedice upisanog kruga:

1. Visina opisanog trapeza uvijek je jednaka dvama radijusima.

2. Bočni dio opisanog trapezuma promatra se od središta kružnice pod pravim kutom.

Prva posljedica je očigledna i dokazati drugu, potrebno je utvrditi da je kut SOD-a izravna, što u stvari također ne predstavlja mnogo poteškoća. Ali poznavanje ove nekretnine omogućit će nam da se prilikom rješavanja problema primijeni pravokutni trokut.

Sada ćemo konkretizirati ove posljedice za jednodijelni trapezoid koji je upisan u krug. Dobivamo da je visina geometrijska sredina baze slike: H = 2R = √ (BS * AD). Izrada osnovne metode rješavanja problema trapeza (načelo držanja dvije visine) student mora riješiti sljedeći zadatak. Pretpostavljamo da je BT visina isosceles figure ABSD. Potrebno je pronaći segmente AT i TD. Primjenom gore opisane formule to neće biti teško učiniti.

Sada ćemo odrediti kako odrediti polumjer kruga pomoću područja opisanog trapeza. Spuštamo visinu od vrha B do baze krvnog tlaka. Budući da je krug upisan u trapezoid, onda BS + AD = 2AB ili AB = (BS + AD) / 2. Iz trokuta ABN nalazimo sinα = BN / AB = 2 * BN / (BS + AD). PABSD = (BS + AD) * BN / 2, BN = 2R. Dobivamo PABSD = (BS + AD) * R, slijedi da je R = PABSD / (BS + AD).

,

Sve formule srednje linije trapeza

Sada je vrijeme da prijeđemo na posljednji element ove geometrijske figure. Pogledajmo što je srednja linija trapeza (M):

1. Kroz baze: M = (A + B) / 2.

2. Kroz visinu, podnožje i kutove:

• M = A-H * (cgg + ctgp) / 2;

• M = B + H * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. Kroz visinu, dijagonale i kut između njih. Na primjer, D1 i D2 dijagonale su trapezoida; Α, β su kutovi između njih:

M = D1 * D2 * sinα / 2H = D1 * D2 * sinB / 2H.

4. Kroz površinu i visinu: M = P / H.