Poliedra. Vrste polihedra i njihova svojstva

Polyhedra ne samo da zauzimaju istaknuto mjesto u geometriji, nego se također pojavljuju u svakodnevnom životu svake osobe. Ne spominjući umjetno stvorene objekte svakodnevne uporabe u obliku različitih poligona, počevši od šibice i završavajući s arhitektonskim elementima, u prirodi su i kristali u obliku kocke (soli), prizma (kristala), piramida (scheelite), oktaedara (dijamanta) i t d.,

Koncept poliedra, vrste poliedara u geometriji

Geometrija kao znanost sadrži dio stereometrije koji proučava karakteristike i svojstva trodimenzionalnih figura. Geometrijska tijela, čije su strane u trodimenzionalnom prostoru formirane graničnim ravninama (lica), nazivaju se "polyhedra". Vrste poliedra broj više od desetak predstavnika, razlikuju se po broju i obliku lica.

Ipak, sve poliedre imaju zajednička svojstva:

1. Svi oni imaju 3 sastavne komponente: lice (poligonska površina), vrh (uglovi nastali na spoju lica), rub (bočni dio slike ili segment nastao na spoju dvaju lica).
2. Svaki rub poligona spaja dva, a samo dva lica koja su međusobno susjedna.
3. Konveksnost znači da se tijelo potpuno nalazi samo na jednoj strani ravnine na kojoj leži jedna od lica. Pravilo se primjenjuje na sva lica polyhedra. Takve geometrijske figure stereometrije nazivaju se konveksna poliedra. Iznimka je zvijezda polyhedra, koji su derivati redovitih poliedrijskih geometrijskih tijela.

Polyhedra se može podijeliti na:

1. Vrste konveksne poliedre koje se sastoje od sljedećih klasa: obični ili klasični (prizmi, piramidi, paralelopipedni), redoviti (također zvane Platonova tijela), polu-redoviti (drugi naziv - arhimedska tijela).
2. Nonconvex polyhedra (zvjezdast).

Prizma i njegova svojstva

Stereometrija kao dio geometrije proučava osobine trodimenzionalnih figura, tipova poliedara (prizma u njihovom broju). Prizm je geometrijsko tijelo koje nužno ima dva potpuno identična lica (također nazvana baze) koja leže u paralelnim ravninama, a n-taj broj bočnih lica u obliku paralelograma. Zauzvrat, prizam ima i nekoliko sorti, uključujući takve tipove polihedra kao:

1. Paralelepiped - nastaje ako postoji paralelogram u polju - poligon s dva para jednakih suprotnih kutova i dva para kongruentnih suprotnih strana.
2. Ravni prizmi imaju okomite rubove do baze.
3. Nakošeni prizmu karakterizira prisutnost neizravnih kutova (osim 90) između lica i baze.
4. Ispravni prizmu karakteriziraju baze u obliku redovitog poligona s jednakim bočnim stranama.

Osnovna svojstva prizma:

• Kongruentne baze.
• Svi rubovi prizme su jednaki i međusobno paralelni.
• Sva bočna lica imaju oblik paralelograma.

Piramida

Piramida je geometrijsko tijelo koje se sastoji od jedne baze i n-tog broja trokutastog lica koji se spajaju u jednom trenutku - vrhom. Treba napomenuti da ako su strana lica piramide predstavljena trokutima, onda u bazi može biti i trokutasti poligon, četverokut i pentagon, i tako dalje ad infinitum. Ime piramide će odgovarati poligonu na dnu. Na primjer, ako postoji trokut na dnu piramide, to je trokutasta piramida, kvadrilaterna je četverokutna, i tako dalje.

Piramide su konusno nalik poliedru. Vrste poliedara ove grupe, pored gore navedenih, uključuju i sljedeće predstavnike:

1. Redovna piramida ima pravilan poligon u podnožju , a njegova visina projicira se u središte kruga upisanog u bazu ili opisan oko nje.
2. Pravokutna piramida nastaje kad se jedan od bočnih rubova križa s podnožjem pod pravim kutom. U ovom slučaju, ovaj rub se također s pravom naziva visina piramide.

Svojstva piramide:

• Ako su svi bočni rubovi piramide sukladni (iste visine), onda se svi presijecaju s bazom pod jednim kutom, a oko baze možete nacrtati krug s centrom koji se podudara s projekcijom vrha piramide.
• Ako postoji redoviti poligon na dnu piramide, onda su svi bočni rubovi sukladni, a lica su jednodijelni trokuti.

Ispravan polyhedron: vrste i svojstva poliedra

U stereometriji, posebno mjesto zauzima geometrijska tijela s apsolutno jednakim stranama, na čijim vrhovima su povezani isti broj rubova. Ta tijela nazivaju se Platonovim tijelima, ili redovitim polyhedrima. Vrste polihedra s tim svojstvima imaju samo pet znamenki:

1. Tetraedar.
2. Heksahedron.
3. Oktaedar.
4. Dodekaedar.
5. Ikozaedra.

Po njihovom imenu, točna poliedra je zbog grčkog filozofa Platon, koji je u svojim djelima opisao ta geometrijska tijela i povezao ih s prirodnim elementima: zemlja, voda, vatra i zrak. Peta figura dobila je sličnost sa strukturom svemira. Po njegovom mišljenju, atomi prirodnih elemenata slični su oblika redovite polyhedre. Zbog svoje najfascinantnije imovinske simetrije, ova geometrijska tijela bila su od velikog interesa ne samo za drevne matematičare i filozofce, već i za arhitekte, umjetnike i kipare svih vremena. Prisutnost samo 5 tipova polihedra s apsolutnom simetrijom smatralo se fundamentalnim nalazom, čak su im dodijeljene veze s božanskim početkom.

Hexahedron i njegova svojstva

U obliku šesterokuta Platonovi nasljednici su imali sličnost s strukturom atoma Zemlje. Naravno, u ovom trenutku ova hipoteza je potpuno opovrgnuta, što, međutim, ne sprječava da likovi privuku umove poznatih osoba u svojoj estetici.

U geometriji, heksadar, također kocka, smatra se posebnim slučajem paralelopipeda, koji je pak vrsta prizma. Prema tome, svojstva kocke odnose se na svojstva prizma s jedinom razlikom da su sva lica i kutovi kocke međusobno jednaki. To podrazumijeva sljedeća svojstva:

1. Svi rubovi kocke su kongruentni i leže u paralelnim ravninama s obzirom na svaki drugi.
2. Sva su lica kongruentni kvadratići (ima 6 u kocki), od kojih se bilo koja može uzeti kao baza.
3. Svi su difuzni kutovi jednaki 90.
4. Iz svakog vrha dolazi jednak broj rubova, odnosno 3.
5. Kocka ima 9 sjekire simetrije, koje se sve presijecaju na mjestu presjeka dijagonala heksadoga, nazvanog središtem simetrije.

tetraedar

Tetraedar je tetraedar s jednakim licima u obliku trokuta, od kojih je svaki vrh točka povezivanja triju lica.

Svojstva redovitog tetraedra:

1. Sva lica tetraedra su jednakostranični trokuti, od kojih slijedi da su sva lica tetraedra sukladna.
2. Budući da je baza predstavljena redovitom geometrijskom figurom, tj. Ima jednake strane, tada se lica tetraedara konvergiraju pod istim kutom, to jest, svi kutovi su jednaki.
3. Zbroj planarnih kutova na svakom od vrhova iznosi 180, budući da su svi kutovi jednaki, onda je svaki kut regularnog tetraedra 60.
4. Svaki od vrhova projicira se na točku raskrižja visine suprotnog (orthocenter) lica.

Octahedron i njegova svojstva

Opisujući vrste redovitih polyhedra, ne može se zaboraviti na objekt kao što je oktaedron koji se može vizualno prikazati u obliku dviju četverokrilnih redovitih piramida koji su zaglavljeni bazama.

Svojstva oktaedra:

1. Upravo naziv geometrijskog tijela govori nam broj lica. Octagon se sastoji od 8 kongruentnih jednakostraničnih trokuta, u čijem se vrhu nalazi jednak broj lica, naime 4.
2. Budući da su sva lica oktaedra jednaka, kutovi međusloja, jednaki su jednaki 60, jednaki su, a zbroj planarnih kutova bilo kojeg od vrhova je stoga 240.

Dodekaedar

Ako zamislimo da su sva lica geometrijskog tijela regularna pentagon, dobivamo dodekaedar - lik od 12 poligona.

Svojstva dodekaedra:

1. Svaki vrh presijeca tri lica.
2. Sva lica su jednaka i imaju iste duljine rubova, kao i jednako područje.
3. Dodekaedar ima 15 osi i ravnine simetrije, a bilo koji od njih prolazi kroz vrh lica i sredinu suprotnog ruba.

ikozaedra

Ništa manje zanimljiv od dodekaedra, ikozaedar je opsežno geometrijsko tijelo s 20 jednakih lica. Među svojstvima redovitog dentina, može se uočiti sljedeće:

1. Sva lica ikozaedara su jednodijelni trokuti.
2. Svaki vrh poliedra konvergira se na pet lica, a zbroj susjednih kutova vrhova iznosi 300.
3. Icozaedar, poput dodekaedra, ima 15 osi i ravnine simetrije koji prolaze kroz središta suprotnih lica.

Polu-redoviti poligoni

Uz platonske čvrste tvari, skupina konveksnih polyhedra također uključuje arhimedska tijela, koja su skraćena redovita polyhedra. Vrste poliedra ove grupe imaju sljedeća svojstva:

1. Geometrijska tijela imaju paralelno jednaka lica nekoliko tipova, na primjer, skraćeni tetraedar ima 8 lica, kao i redoviti tetraedar, ali u slučaju arhimedovskog tijela 4 lica će biti trokutaste i 4 - šesterokutne.
2. Svi kutovi jednog vrška su sukladni.

Poliedra zvijezda

Predstavnici nepostojećih tipova geometrijskih tijela su zvijezda polihedra čija lica se međusobno križaju. Mogu se formirati spajanjem dvaju regularnih trodimenzionalnih tijela ili kao rezultat nastavka njihovih lica.

Dakle, takva zvijezda polihedra kao što je poznato: oktaedron u obliku zvijezda, dodekaedar, icosahedron, cuboctahedral, icosododecahedron.