Realni brojevi i njihova svojstva

Pitagora je tvrdio da je broj temelj svijeta u rangu s glavnim elementima. Platon je vjerovao da je broj linkova fenomena i noumenon, pomažući da se zna, da se prosuđuje i izvući zaključke. Aritmetička dolazi od riječi „arifmos” - broju, početna točka u matematici. Moguće je opisati bilo koji objekt - od osnovnih do jabuka apstraktnim prostorima.

Treba kao faktor razvoja

U početnim fazama razvoja društva potrebe osoba ograničen potrebom da rezultat - .. Jedna vreća žita, dva zrna torbu, itd Da biste to učinili, to je prirodni brojevi, skup koji je beskonačan slijed prirodnih brojeva N.

Kasnije, razvoj matematike kao znanosti, bilo je potrebno u određenom području cijelih brojeva Z - to uključuje i negativne vrijednosti i nula. Njegova pojava na domaćoj razini, to je bio izazvan činjenicom da prvo knjiženje morao nekako popraviti dugove i gubitke. Na znanstvenoj razini, negativni brojevi su omogućili rješavati jednostavne linearne jednadžbe. Između ostalog, to je sada moguće slike trivijalna koordinatni sustav, npr. A. Bilo je referentna točka.

Sljedeći korak bila je potreba da uđu djelomične brojeve, jer znanost ne stoji i dalje, sve više i više novih otkrića zahtijevala teorijsku podlogu za novi rast pritiskom. Tako je bilo polje racionalnih brojeva P

Konačno, više ne ispunjavaju zahtjeve racionalnosti, jer su sve nove spoznaje zahtijeva opravdanje. Bilo polje realnih brojeva R, djela Euklidovim nesumjerljivosti određenim količinama zbog njihove iracionalnosti. To je, drevni grčki matematičar pozicionirani, ne samo broj kao stalna, ali kao apstraktne vrijednosti koja se karakterizira omjer nesumjerljivim veličinama. S obzirom na činjenicu da postoje realni brojevi, „vidjeli smo svjetlo” vrijednosti kao što su „pi” i „e”, bez kojih moderna matematika nije mogao dogoditi.

Konačni inovacija je kompleksan broj C. To je odgovorio na niz pitanja i opovrgnuo prethodno unijeli postulate. Zbog brzog razvoja algebre ishod je bio predvidljiv - s realnih brojeva, odluka mnogih problema nije bilo moguće. Na primjer, zahvaljujući kompleksnih brojeva isticao teorije struna i kaos proširio jednadžbi hidrodinamike.

Set Theory. kantor

Koncept beskonačnosti uvijek je izazvao kontroverze, jer je nemoguće dokazati ili opovrgnuti. U kontekstu matematike, koja je djelovala strogo provjerenih postulata, to se očitovalo najočitije, više da je teološki aspekt još uvijek težio u znanosti.

Međutim, kroz rad matematičar Georg Cantor sve vrijeme pala na svoje mjesto. On je dokazao da beskonačnim skupovima postoji beskonačan skup, a to je polje R je veća od polja N, neka oboje i nema kraja. U sredini XIX stoljeća, njegove ideje javno nazvao gluposti i zločin protiv klasične nepromjenjivih kanonima, ali vrijeme će staviti sve na svoje mjesto.

Osnovna svojstva polja R

Stvarne vrijednosti ne samo ista svojstva kao i podmozhestva da oni uključuju, ali se nadopunjuju druge masshabnosti na temelju njegovih elemenata:

• R. nula postoji i pripada polju c + c 0 za svaki c R.
• Nula postoji i pripada području R. c x = 0 0 za svaki c R.
• Omjer c: d kada d ≠ 0 postoji i vrijedi za bilo c, d R.
• Polje R odredio, odnosno ako je c ≤ d ≤ d c, a zatim c = d bilo kojeg c, d R.
• Dodatak u polju R je zamjenski, tj c + d = d + c, za bilo c, d R.
• Umnožavanje u polju R je zamjenski, tj x c x d = d c za sve c, d R.
• Dodatak u polju R je asocijativno tj (c + d) + c + Rf = (d + f) za bilo koji c, d, f R.
• Umnožavanje u polju R je asocijativno tj (c x d) X = f (c x d x f) za bilo koji c, d, f R.
• Za svaki broj polja R nasuprot tome ima, kao da je c + (c) = 0, gdje je c, -C od R.
• Za svaku broj polja R postoji obrnutom, tako da c x c = 1 u kojoj ^-1 c, c ^-1 R.
• Jedinica postoji i pripada R, tako da su c X1 = C, za bilo c R.
• Da ima raspodjelu snage zakon, tako da c x (d + f) = C x d + c x f, iz bilo kojeg c, d, f R.
• Polje R nula nije jednak jedinici.
• Polje R prelazni: ako c ≤ d, d ≤ f, a zatim c ≤ f bilo kojeg c, d, f R.
• U R i dodavanje kako su međusobno: ako c ≤ d, a zatim c + d + f ≤ f za sve c, d, f R.
• U redoslijedu R i umnožavanja povezanog: ako 0 ≤ c, d ≤ 0, zatim 0 ≤ c x d bilo kojeg c, d R.
• Kao negativni i pozitivni realni brojevi su kontinuirano, tj za bilo c, d od Rf, postoji od R, koji c ≤ f ≤ d.

polje Modul R

Pravi brojevi su nešto takvo kao modul. to je određen kao | F | za bilo f u R. | F | = F, ako 0 ≤ f i | f | = F, ako 0> f. Ako uzmemo u obzir modul kao geometrijske vrijednosti, to je udaljenost - to ne smeta, „prošao”, te kao nula u negativnom bi pozitivno ili naprijed.

Složene i realni brojevi. Koje su sličnosti i razlike?

Do i velikih, kompleksnih i realnih brojeva - oni su jedna te ista, osim što je prvi pridružio imaginarni jedinice koju je kvadrat koji je jednak -1. Elementi polja R i C može se predstaviti sa slijedećom formulom:

• c = d + f x i, naznačen time, d, f pripadaju polje R i I - imaginarnom jedinice.

Da biste dobili c RF u ovom slučaju jednostavno pretpostavlja se da je nula, tj postoji samo pravi dio broja. Budući da je polje kompleksnih brojeva ima isti skup značajki kao oblasti pravi, f x i = 0 ako je F = 0.

Što se tiče praktičnih razlika, na primjer u području R jednadžbe ne može riješiti ako je diskriminativna je negativan, dok je C okvir ne nameće ovo ograničenje uvođenjem imaginarnu jedinicu ja.

rezultati

„Opeka” od aksioma i postulati na kojima se temelji matematike, ne mijenjaju. Na neke od njih zbog povećanja informacija i uvođenje novih teorija postavljena sljedeća „cigle”, koji u budućnosti može postati temelj za sljedeći korak. Na primjer, prirodni brojevi, unatoč činjenici da su podskup realnog polja R, ne gubi svoju relevantnost. To je za njih osnova svega elementarne aritmetike, koji počinje sa znanjem čovjeka mira.

S praktične točke gledišta, realni brojevi izgledaju kao ravnoj liniji. Moguće je odabrati smjer, identificirati podrijetlo i igralište. Izravno se sastoji od beskonačno mnogo točaka, od kojih svaki odgovara jednom stvarnom broju, bez obzira je li ili nije racionalno. Iz opisa je jasno da se radi o konceptu, koji se temelji matematike općenito i matematičku analizu posebno.