Neodređeni integral. Računanje neodređenim integrali

Jedan od temeljnih dijelova matematičke analize je integralni račun. Ona pokriva vrlo široko polje objekata, gdje je prvi - to je neodređeni integral. Pozicija to stoji kao ključ koji je još uvijek u srednjoj školi otkriva sve veći broj izgledima i mogućnostima, koji opisuje više matematike.

izgled

Na prvi pogled, čini se sasvim sastavni dio modernog, lokalno, ali u praksi ispada da se vratio u 1800 prije Krista. Početna službeno smatra Egipat nije do nas ranije dokaze o njegovom postojanju. To zbog nedostatka informacija, sve dok jednostavno postaviti kao fenomen. On je još jednom potvrđuje razinu znanstvenog razvoja naroda tog vremena. Konačno, djela pronađena su drevne grčke matematičare, koja datira iz 4. stoljeća prije Krista. Oni opisuju metodu gdje neodređeno integralni, suština koji je trebao pronaći glasnoću ili područje zakrivljenim oblikom (trodimenzionalni i dvodimenzionalni plane, respektivno). Izračun se temelji na načelu diobe originalnog lika u infinitezimalno komponentama, pod uvjetom da količina (područje) već je poznato da ih. Tijekom vremena, ova metoda je narasla, Arhimed ga koristiti kako bi pronašli područje parabole. Slične kalkulacije u isto vrijeme provoditi vježbe u drevnoj Kini, gdje su potpuno neovisan od grčkog kolege znanosti.

razvoj

Sljedeći proboj u XI stoljeću prije Krista postao je djelo arapskog učenjaka „karavan” Abu Ali al-Basri, koji je pomaknuo granice već poznato, izvedeni su iz integralne formula za izračunavanje sume iznosa i stupnjeva od prvog do četvrtog, prijavljuje za to zna da nas metoda indukcije.
Umovi danas se dive drevni Egipćani stvorio nevjerojatne spomenike bez posebnih alata, osim njihovih vlastitih ruku, ali se nije a snaga ludi znanstvenici tog vremena ne manje čudo? U usporedbi sa sadašnjim vremenima njihove živote čini gotovo primitivno, ali odluka o neodređenim integrali zaključiti svugdje i koriste u praksi za daljnji razvoj.

Sljedeći korak je održan u XVI stoljeću, kada je talijanski matematičar Cavalieri donio nedjeljivu metode, koje je pokupio Per Ferma. Ove dvije ličnosti postavio temelje za modernu integralni račun koji je poznat u ovom trenutku. Vezali koncepte diferencijacije i integracije, koji su prethodno vidjeli kako self-sadržane jedinica. Uglavnom, matematika to vrijeme bio usitnjene čestice rezultati postoje po sebi, uz ograničeno korištenje. Način da se ujedine i pronaći zajedničko tlo je jedini pravi u ovom trenutku, zahvaljujući njemu, moderna matematička analiza imali priliku rasti i razvijati se.

S vremenom sve mijenja i sastavni simbol kao dobro. Uglavnom, to je bio određen znanstvenike koji na svoj način, na primjer, Newton koriste ikonu kvadrat, koji se stavi integrabilne funkciju, ili jednostavno staviti zajedno. Ova razlika je trajala sve do XVII stoljeća, kada je orijentir za cijelu teoriju matematička analiza znanstvenika Gotfrid Leybnits uveo takav karakter je poznato da nas. Izdužena „S” zapravo se temelji na tom slovu latinicom, jer označava zbroj primitivci. Ime integral dobiti zahvaljujući Jakob Bernoulli, nakon 15 godina.

Formalna definicija

Neodređeni integral ovisi o definiciji primitivaca, pa smo ga uzeti u obzir na prvom mjestu.

Antiderivative - je inverzna funkcija derivata, u praksi to se zove primitivna. Inače: primitivna funkcija d - D je funkcija, što je derivat v <=> V-V. Traži primitivna je izračunati neodređeni integral, a sam proces se naziva integracije.

primjer:

Funkcijom S (y) = y ^3, a primitivni S (y) = (y ^4/4).

Skup svih primitivnih funkcije - to je na neodređeno integralni, označen je kao što slijedi: ∫v (x) dx.

Na temelju činjenice da V (X) - su samo neki primitivni izvorni funkcija, ekspresija ima: ∫v (x) dx = V (x) = C, gdje je C - konstanta. Pod proizvoljnim konstanta odnosi se na bilo konstantan, jer njegov derivat je nula.

nekretnine

Svojstva posjeduju neodređeni integral, temeljenog na definicije i svojstva derivata.
Razmislite ključne točke:

• Sastavni derivat primitive primitivna sam plus proizvoljna konstanta C <=> ∫V „(x) dx = V (x) = C;
• Derivat integral funkcija je funkcija izvorni <=> (∫v (x) dx) = v (x);
• konstanta je preuzet iz pod znakom integralnog <=> ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, gdje je k - proizvoljan;
• integral, koji je preuzet iz suma identično jednak zbroju integrala <=> ∫ (v (y) + masa (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) Dy.

Posljednje dvije svojstva može se zaključiti da je neodređeni integral je linearna. Zbog toga, imamo: ∫ (kV (y) dy + ∫ LW (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

Da biste vidjeli primjere popravljajući rješenja neodređeno integrale.

Morate pronaći sastavni ∫ (3sinx + 4cosx) dx:

• ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + = ∫4cosxdx 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + + C = 4sinx 4sinx - 3cosx + C.

Iz primjera možemo zaključiti da ne znate kako riješiti neodređeno integrale? Samo pronaći sve primitivi! No, potraga za načela objašnjeno u nastavku.

Primjeri metode i

Da bi se riješili integral, možete posegnuti za sljedećih metoda:

• spremna iskoristiti za stolom;
• integrirajući od dijelova;
• integrirana zamjenom varijablu;
• Sumirajući pod znakom diferencijala.

stolovi

Najviše jednostavan i ugodan način. U ovom trenutku, matematička analiza može pohvaliti prilično opsežne tablice, koji precizirao osnovnu formulu neodređeno integrali. Drugim riječima, postoje predlošci izvedeni do vas, a vi možete uzeti samo iskoristiti. Ovdje je popis od glavnih stol pozicija, koje se mogu prikazati gotovo svaki primjer, ima rješenje:

• ∫0dy = C, gdje je C - konstanta;
• ∫dy = y = C, gdje je C - konstanta;
• ∫y ⁿ = dy (y ^{n + 1)} / (n + 1) + C, gdje je C - konstanta, i n - broj razlikuje od jedinice;
• ∫ (1 / y) dy = ln | Y | + C, gdje je C - konstanta;
• ^{∫e y = e dy y + C} , gdje je C - konstanta;
• ^{∫k y dy = (k y /} ln k) = C, gdje je C - konstanta;
• ∫cosydy = siny + C, gdje je C - konstanta;
• ∫sinydy = -cosy + C, gdje je C - konstanta;
• ∫dy / cos ² y = tgy + C, gdje je C - konstanta;
• ∫dy / sin ² y = -ctgy + C, gdje je C - konstanta;
• ∫dy / (1 + y ²⁾ = arctgy + C, gdje je C - konstanta;
• ∫chydy = stidljiv + C, gdje je C - konstanta;
• ∫shydy = CHY + C, gdje je C - konstanta.

Ako je potrebno, napraviti par koraka dovesti integrandu u pogledu tabličnom i uživati u pobjedu. Primjer: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2), d (5x - 2) = 1/5 x sin (5x - 2) + C.

Prema odluci jasno je da, na primjer, tablice integrandu nedostaje množitelj 5. Mi smo ga dodati paralelno s tim umnažanja za 1/5 općem izrazu nije promijenio.

Integracija po dijelovima

Razmislite dvije funkcije - Z (y) i X (Y). Oni moraju biti neprekidno diferencijabilan na svojoj domeni. U jednom diferencijaciju svojstvima imamo: d (XZ) = + xdz zdx. Integracija obje strane, dobijemo: ∫d (xz) = ∫ (xdz + zdx) => ZX = ∫zdx + ∫xdz.

Prepisivanjem dobivene jednadžbe dobijemo formulu, koji opisuje postupak za integraciju od dijelova: ∫zdx = ZX - ∫xdz.

Zašto je to potrebno? Činjenica da su neki od primjera je moguće pojednostaviti, recimo, da se smanji ∫zdx ∫xdz, ako je ovaj blizu tabličnom obliku. Također, ova formula može se koristiti više od jednom, za optimalne rezultate.

Kako riješiti neodređeno integrali na ovaj način:

• potrebno je izračunati ∫ (s + 1) e ^2S ds

∫ (x + ^{1) e 2s ds = {z =} s + 1, DZ = ds, y = 1 ^{/ 2e 2s, Dy = e 2x} DS} = ((a + 1) e ^2S) / 2-1 / 2 ∫e ^2s dx = ((s + 1) e ^2s) / 2-e ^2s / 4 + C;

• Treba izračunati ∫lnsds

∫lnsds = {z = LNS, DZ = ds / S, Y = S, = Dy DS =} - slns ∫s x ds / e = slns - ∫ds = slns -S + C = S (LNS-1) + C.

Zamjena varijablu

Ovaj princip rješavanja neodređeno integrali nisu manje potražnje od prethodna dva, iako komplicirano. Postupak je slijedeći: Neka V (x) - integral neke funkcije v (x). U slučaju da u sebi integralni u primjeru slozhnosochinenny dolazi, je vjerojatno da će se zbuniti i otići na pogrešnom putu rješenja. Da bi se izbjegla ova praksa promjena u odnosu na varijablu x do Z, u kojem je opći izraz vizualno pojednostavljeno zadržavajući z ovisno o x.

U matematičkim smislu, to je kao što slijedi: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y „(z) = dz V (z) = V (y-1 (x)), pri čemu je x = y ( z) - supstitucija. I, naravno, inverzna funkcija y z = ¹ (x) u potpunosti opisuje odnos i odnos varijabli. Važna napomena - diferencijalna DX nužno zamijeniti novim diferencijalne dz, s obzirom na promjene varijable u neodređeno integral uključuje zamijenivši ga svugdje, ne samo u integrandu.

primjer:

• mora naći ∫ (s + 1) / (s - ² + 2S 5) ds

Primjenjuju supstitucijski z = (S + 1) / ⁽² + 2s s-5). Zatim dz = 2sds = 2 + 2 (s) + 1 ds <=> (s + 1) = ds dz / 2. Kao rezultat toga, sljedeći izraz, što je vrlo lako izračunati:

∫ (s + 1) / ⁽² + 2s s-5) DS = ∫ (DM / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | e ² + 2s-5 | + K;

• morate pronaći sastavni ∫2 ^s e ^S DX

Da bi se riješio prepisati u sljedećem obliku:

^{∫2 s ES ds ∫ (} 2E) s ds.

Mi smo označili strane = 2e (zamjena argumenta ovaj korak nije, to je još uvijek s), dajemo naš naizgled komplicirano sastavni osnovne tabličnom obliku:

^{∫ (2e) s DS = ∫a} e ds = a / a LNA + C = (2e) s / ln (2e) + C = 2 ^s e ^s / ln (2 + lne) + c = 2 ^{s ES} / (ln2 + 1) + C.

Ukratko diferencijalni znak

Uglavnom, ova metoda neodređeno integrali - brat blizanac principu promjene varijable, ali postoje razlike u procesu registracije. Razmotrimo detaljnije.

Ako ∫v (x) dx = V (x) + C i y = z (x), a zatim ∫v (y) = dy V (y) + C.

U isto vrijeme ne smijemo zaboraviti trivijalne integralne transformacije, među kojima:

• dx = d (x + a), pri čemu - svaki konstanta;
• dx = (1 / a), d (ax + b), gdje - konstanta ponovno, ali ne nula;
• xdx = 1 / 2d (x ² + b);
• sinxdx = d (cosx);
• cosxdx = d (sinx).

Ako se uzme u obzir opći slučaj gdje izračunavanje neodređeni integral, primjeri mogu podvesti pod općom formulom w „(x) dx = sm (x).

primjeri:

• mora naći ∫ (2s + 3) ² DS, DS = 1 / 2d (2s + 3)

∫ (2s + 3) ² DS = 1 / 2∫ (2s + 3) ² d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (COSS) / COSS = -ln | COSS | + C.

online pomoć

U nekim slučajevima, kriv što može postati ili lijenost ili hitna potreba, možete koristiti online upute, odnosno, koristiti kalkulator neodređeno integrale. Unatoč prividnoj složenosti i kontroverzne naravi integrali, odluka je predmet njihovog specifičnog algoritma, koji se temelji na načelu „ako ne ... onda ...”.

Naravno, posebno zapetljan primjeri takvog kalkulator neće savladati, jer postoje slučajevi u kojima je odluka kako bi pronašli umjetno „prisiljeni” uvođenjem određenih elemenata u tom procesu, jer rezultati su očiti načina da dođete. Unatoč kontroverznoj prirodi ove izjave, to je istina, kao što su matematika, u načelu, sažetak znanost, a njegov primarni cilj smatra da je potrebno osnažiti granice. Doista, za glatko trčanje-u teorije je vrlo teško za pomicanje gore i razvijati, tako da ne pretpostavljaju da su primjeri rješavanja neodređeno integrale, koji nam je dao - ovo je visina mogućnosti. No, natrag na tehničku stranu stvari. Barem provjeriti izračune, možete koristiti uslugu u kojoj je pisano za nas. Ako postoji potreba za automatsko izračunavanje složenih izraza, onda oni ne moraju posegnuti za ozbiljniji softver. Treba obratiti pozornost prije svega na okoliš Matlab.

primjena

Odluka neodređeno integrali na prvi pogled čini potpuno odvojen od stvarnosti, jer je teško vidjeti očiglednu korištenje u zrakoplovu. Doista, izravno ih koristiti bilo gdje ne mogu, ali oni su nužan srednji element u procesu povlačenja otopina koje se koriste u praksi. Dakle, integracija leđa diferencijacije, stoga aktivno sudjeluje u procesu rješavanja jednadžbi.
S druge strane, ove jednadžbe imaju izravan utjecaj na odluke mehaničkih problema, izračun putanju i toplinske vodljivosti - ukratko, sve što čini sadašnjost i oblikuju budućnost. Neodređeni integral, primjeri koji smo smatrali gore, trivijalno samo na prvi pogled, kao baza za obavljanje više i više novih otkrića.