Riemann hipoteza. Distribucija prostih brojeva

Godine 1900., jedan od najvećih znanstvenika prošlog stoljeća, David Hilbert je napravio popis koji se sastoji od 23 neriješenih problema matematike. Rad na njih je imao golem utjecaj na razvoj ovog područja ljudskog znanja. Nakon 100 godina u glini Mathematical Institute predstavio popis sedam probleme, poznat kao ciljevima tisućljeća. Za odluke svakog od njih je ponudio nagradu od $ 1 milijun.

Jedini problem, koji je bio među dva popisa zagonetke, stoljećima nije dao ostatak znanstvenicima, postala je Riemann hipoteza. Ona se još uvijek čeka svoju odluku.

Kratak biografske podatke

Georg Friedrich Bernhard Riemann rođen je 1826. godine u Hannoveru, u velikoj obitelji siromašnog župnik, a samo 39 godina živio. On je uspio objaviti 10 radova. Međutim, tijekom života Riemann smatrao nasljednikom svog učitelja Johann Gauss. U 25 godina mladi znanstvenik obranio „Temelji teorije funkcija kompleksne varijable.” Kasnije je formulirao svoju hipotezu, koja je postala poznata.

Prim

Matematika je došao kada je čovjek naučio brojati. Tada je nastao prvi ideju o brojevima, koji je kasnije pokušao da klasificirati. Uočeno je da su neki od njih imaju zajedničke osobine. Konkretno, među prirodnim brojevima m. E. onima koji su korišteni u obračunskom (numeriranje) ili određenom broju stavki dodijeljen skupinu kao što su podijeljeni samo po jedan i sebi. Oni su se zvali jednostavno. Elegantan dokaz teorema beskonačan skup brojeva dali Euklid u svojim „Elementi”. U ovom trenutku, mi nastavljamo potragu. Konkretno, najveći broj poznatih 2 ^74207281 - 1.

Euler formula

Uz pojam beskonačno mnogo nagrada koje Euklid definirane i drugi teorem jedini mogući faktorizacija. Prema tome bilo pozitivni cijeli broj je proizvod samo jedan set nagrada koje. U 1737, veliki njemački matematičar Leonhard Euler je izrazio prvi Euclid 's teorem o beskonačnosti formule prikazane u nastavku.

To se zove funkciju zeta, gdje je - konstanta, a P je sve jednostavne vrijednosti. Iz njega se izravno pratiti i odobrenje jedinstvenosti širenja Euklid.

Riemann funkcija zeta

Eulerova formula na bliže inspekcije je sasvim osobit, kao što je dano odnosom jednostavna i brojeva. Uostalom, u lijevoj strani množe beskrajno mnogo izraza koje ovise samo o jednostavnim, a pravo iznos je povezana sa svim pozitivnih integers.

Riemann je otišao na Euler. Kako bi pronašli ključ za problem distribucije brojeva, predlaže se definirati formulu za obje stvarne i kompleksne varijable. To je ona koja je kasnije postala poznata kao zeta funkcije Riemann. Godine 1859. znanstvenik objavio članak pod naslovom „Na broja nagrada koje ne prelazi unaprijed određene vrijednosti”, koji je sažeo sve svoje ideje.

Riemann je predložio korištenje brojnih Euler, konvergentni za sve stvarne s> 1. Ako je ista formula se koristi za složene S, serija će se spojiti na bilo koju vrijednost od varijable sa stvarnim dio je veći od 1. Riemann koristio analitički nastavak postupka proširivanjem definicije zeta (e) za sve kompleksnih brojeva, ali „bacanje” jedinicu. To nije bilo moguće, jer ako je s = 1 zeta funkcija povećava u beskonačnost.

praktičnom smislu

Postavlja se pitanje: što je zanimljivo i važno zeta funkcija, što je presudno u radu Riemann na nultu hipotezu? Kao što znate, u ovom trenutku nije pronađen jednostavan uzorak koji opisuje raspodjelu prostih brojeva među prirodno. Riemann mogli otkriti da je broj pi (x) prostih brojeva, koje nisu superiorniji x, izražava distribuciju nontrivial nula zeta funkcija. Osim toga, Riemann hipoteza je nužan uvjet da bi se dokazalo privremene procjene određenih kriptografskih algoritama.

Riemann hipoteza

Jedan od prvih formulacije ovog matematičkog problema, nije dokazano da danas je: trivijalno 0 zeta funkcija - kompleksni brojevi s pravim dijelom jednaka ½. Drugim riječima, oni su raspoređeni u ravnoj liniji s Re = ½.

Tu je i generalizirane Riemann hypothesis, što je ista izjava, ali za generalizacije zeta funkcija, koje se nazivaju Dirichletov (vidi. Foto dolje) L-funkcije.

U formuli χ (n) - numerički znak (k) mod.

Riemannovo izjava je tzv nulta hipoteza, što je potvrđeno uskladile s postojećim podacima uzorka.

Kao što sam tvrdio Riemann

Napomena njemački matematičar izvorno formuliran prilično ležerno. Činjenica je da je u to vrijeme znanstvenik će dokazati teorem o raspodjeli prostih brojeva, te u tom kontekstu, ova hipoteza nema mnogo utjecaja. Međutim, njegova uloga u rješavanju mnogih drugih problema je ogroman. Zato je Riemann hypothesis za sada mnogi znanstvenici prepoznaju važnim nedokazanim matematičkih problema.

Kao što je već rečeno, dokazati teorem o raspodjeli punom Riemann hipoteza nije potrebno, a sasvim logično dokazati da je pravi dio svakog ne-trivijalne nule funkcije zeta je između 0 i 1. Ova nekretnina podrazumijeva da je zbroj svih 0-m zeta funkcija koje se pojavljuju u formuli točno iznad, - konačna konstantna. Za velike vrijednosti x, sve to može biti izgubljen. Jedini član formule koja će ostati nepromijenjena čak i pri vrlo visokim x, x je sam. Ostatak od složenih uvjeta u usporedbi s njom asimptotski nestati. Dakle, suma teži x. Ova činjenica može se smatrati kao dokaz istine početni broj teorem. Dakle, nula od funkcije Riemann zeta pojavljuje posebnu ulogu. To je dokazati da ove vrijednosti ne može značajno doprinijeti formula za proširenje.

Riemann sljedbenici

Tragična smrt od tuberkuloze spriječiti znanstvenik dovesti do logičnog kraja programa. Međutim, on je uzeo palicu iz W-F. de la Vallée Poussin i Zhak Adamar. Neovisno jedan od drugog su povučeni prim broj teorem. Hadamard i Poussin uspio dokazati da su svi Netrivijalno funkcija 0 zeta nalazi u kritičnom bend.

Zahvaljujući radu tih znanstvenika, nova grana matematike - analitičke teorije brojeva. Kasnije, drugi istraživači su dobili malo više primitivni dokaz o teorem je radio u Rimu. Konkretno, Pal Erdös i Atle Selberg otvorili čak potvrđuje vrlo složen lanac logici, ne zahtijevaju korištenje složene analize. Međutim, u ovom trenutku je ideja Riemann nekoliko važnih teorema su dokazali, uključujući i usklađivanju brojnih funkcija broj teorija. U vezi s ovom novom poslu Erdos i Atle Selberg gotovo ništa ne utječe.

Jedan od najjednostavnijih i najljepši dokaz o problemu je pronađen 1980. godine Donald Newmana. Ona se temelji na poznatom Cauchy teorem.

Prijeti li Riemannovo hipoteza je temelj moderne kriptografije

Šifriranje podataka nastao s pojavom znakova, ili bolje rečeno, oni sami mogu smatrati kao prvi koda. U ovom trenutku, postoji cijeli novi trend digitalnog kriptografije, koja se bavi razvojem algoritama šifriranja.

Jednostavna i „poluproste” broj m. E. Oni koji su samo podijeljene u dvije druge brojeve iste klase, temelj javnog ključa sustav, poznat kao RSA. Ima široku primjenu. Konkretno, to se koristi u generaciju elektroničkog potpisa. Ako govorimo u smislu raspoloživog „čajnik”, Riemann hipoteza tvrdi postojanje sustava u distribuciji prostih brojeva. Dakle, značajno smanjen otpor kriptografskih ključeva, o kojima ovisi sigurnost online transakcija u e-trgovini.

Drugi neriješeni matematički problemi

Kompletan članak vrijedi posvetivši nekoliko riječi na druge poslove tisućljeća. Oni uključuju:

• Jednakost klase P i NP. Problem je formuliran na sljedeći način: ako je pozitivan odgovor na postavljeno pitanje je potvrđena u polinomnom vrijeme, onda je to istina da je on sam odgovor na to pitanje može se naći brzo?
• Hodge nagađanje. U jednostavnim uvjetima može se reći kako slijedi: za neke vrste projektivnim algebarskih mnogostrukosti (razmaka) Hodge ciklusi su kombinacije objekata koji imaju geometrijsku interpretaciju, odnosno algebarski ciklusa ...
• Poincaré nagađanje. To je jedina dokazana na probleme trenutak tisućljeća. Prema tome bilo trodimenzionalni objekt koji imaju specifična svojstva 3-dimenzionalnom sfere, sfere mora biti točan deformacije.
• Odobrenje kvantnoj Yang - teorije Mills. Moramo dokazati da kvantne teorije, iznio tim znanstvenika na prostor ^R4, tu je 0-masa mana za jednostavnu kalibraciju kompaktnog skupine G.
• Hipoteza o Birch - Swinnerton-Dyer. Ovo je još jedan problem koji je relevantan za kriptografiju. To se odnosi na eliptične krivulje.
• Problem postojanja i glatkoću otopinama Navier - Stokes jednadžbe.

Sada znate Riemann hypothesis. U jednostavnim uvjetima, formulirali smo i neke od drugih ciljeva tisućljeća. Činjenica da će se riješiti ili je dokazano da nemaju rješenja - to je pitanje vremena. A to je malo vjerojatno da će morati čekati predugo, jer su matematika sve više koriste računalnu snagu računala. Međutim, nije sve podređeno umjetnosti i riješiti znanstvene probleme u prvom redu zahtijeva intuiciju i kreativnost.