Osnovni pojmovi teorije vjerojatnosti. Zakoni teorije vjerojatnosti

Mnogi ljudi, kada je suočen s pojmom „teorije vjerojatnosti”, uplašen, misleći da je to nešto nedopustivo, vrlo teško. Ali to zapravo nije tako tragično. Danas gledamo na temeljnim pojmovima teorije vjerojatnosti, naučiti rješavati probleme konkretnim primjerima.

znanost

Ono što se proučava grana matematike kao „teorija vjerojatnosti”? Primjećuje obrasce slučajnih događaja i varijable. Po prvi put se pitanje zabrinutih znanstvenika u osamnaestom stoljeću, kada je studirao kockanje. Osnovni pojmovi teorije vjerojatnosti - događaj. To je bilo činjenica da je navedeno iskustva ili promatranjem. No, ono što je iskustvo? Drugi osnovni koncept teorije vjerojatnosti. To znači da je ovaj dio okolnosti nisu slučajno stvorene, i sa svrhom. S obzirom na nadzor, tu je istraživač i sam ne sudjeluje u iskustvu, ali jednostavno svjedok tih događaja, to nema nikakvog utjecaja na ono što se događa.

događaji

Saznali smo da je osnovni koncept teorije vjerojatnosti - događaju, ali nisu uzeti u obzir klasifikaciju. Svi oni su podijeljeni u sljedeće kategorije:

• Pouzdana.
• Nemoguće.
• Random.

Bez obzira što je događaj, koji se gledao ili nastao u toku eksperimenta, oni su pogođeni ovom klasifikacijom. Nudimo sve vrste sastaju odvojeno.

određeni događaj

To je činjenica na koju da bi potrebnu skup aktivnosti. Da bi se bolje shvati suštinu, bolje je dati nekoliko primjera. To je podređen zakonu i fizike, kemije, ekonomije i više matematike. teorija vjerojatnosti uključuje važnu koncept kao značajan događaj. Ovdje su neki primjeri:

• Radimo i primaju naknadu u obliku plaće.
• Pa prošli ispite prošao natječaj za to primaju naknadu u obliku prijemu u odgojnu ustanovu.
• Mi smo uložili novac u banci, dobiti ih natrag ako je to potrebno.

Takvi događaji su istiniti. Ako smo ispunili sve potrebne uvjete, svakako dobiti očekivani rezultat.

nemoguće događaj

Sada razmotrimo elemente teorije vjerojatnosti. Nudimo ići na objašnjenja u sljedećim vrstama događanja - naime, nemoguće. Za početak propisuje najvažnije pravilo - vjerojatnost nemogućeg događaja je nula.

Iz ove formulacije ne mogu se derogirati na rješavanju problema. Za ilustraciju, primjeri takvih događaja:

• Voda se zamrznuti na temperaturi od plus deset (to je nemoguće).
• Nedostatak električne energije ne utječe na proizvodnju (tako nemoguće kao u prethodnom primjeru).

Više primjeri su navedeni nije potrebno, kao što je opisano gore vrlo jasno odražava suštinu ovoj kategoriji. Nemoguće događaj nikada ne događa tijekom eksperimenta pod kojim okolnostima.

slučajni događaji

Proučavajući elemente teorije vjerojatnosti, posebnu pozornost treba obratiti na određenom tipu događaja. To su oni koji su proučavali ovu znanost. Kao rezultat iskustva nešto može dogoditi ili ne. Osim toga, test neograničen broj puta može se provesti. Poznati primjeri uključuju:

• Bacanje novčić - to je iskustvo, ili test, gubitak orao - ovaj događaj.
• Izvlačenje loptu iz vrećice slijepo - testu, bio je uhvaćen crvenu kuglu - ovaj događaj, i tako dalje.

Takvi primjeri mogu biti neograničen broj, ali, općenito, treba razumjeti. Sažeti i sistematizirati stečena znanja o događajima iz tablice. teorija vjerojatnosti studije samo potonja vrsta sve prezentirani.

ime	definicija	primjer
pouzdan	Događaji se javljaju s apsolutnim jamstva, pod određenim uvjetima.	Upis u školu na vrijeme prijema ispit.
nemoguć	Događaji koji nikada ne događaju pod bilo kojim okolnostima.	To je snijeg na temperaturi zraka iznad trideset stupnjeva Celzija.
slučajan	Događaj, koji se mogu ili ne u toku eksperimenta / test.	Hit ili propustiti kada bacanje košarku u ringu.

zakoni

teorija vjerojatnosti - znanost koja proučava mogućnost gubitka svakom slučaju. Kao i ostali, ima neka pravila. Sljedeći zakoni teorije vjerojatnosti:

• Konvergencija nizova slučajnih varijabli.
• Zakon velikih brojeva.

Pri izračunu mogućnost kompleksa mogu se koristiti složene jednostavne događaje za postizanje rezultata jednostavniji i brži način. Valja napomenuti da su zakoni teorije vjerojatnosti može se jednostavno dokazuje uz pomoć neke od teorema. Predlažemo za početak upoznati s prvim zakonom.

Konvergencija nizova slučajnih varijabli

Imajte na umu da konvergencije nekoliko vrsta:

• Slijed slučajnih varijabli konvergencije u vjerojatnosti.
• Gotovo nemoguće.
• RMS konvergencija.
• Konvergencija u distribuciji.

Dakle, u letu, to je vrlo teško shvatiti suštinu. Ovdje su definicije koje će vam pomoći razumjeti temu. Za početak prvi pogled. Slijed naziva konvergencija vjerojatnosti, ako sljedeći uvjet: n približava beskonačnosti, broj traži slijed je veći od nule, u blizini uređaja.

Prelazak na sljedeću pogled, gotovo sigurno. Kažu da je slijed konvergira gotovo sigurno slučajnom varijablom s n teži u beskonačnost, i R, nastojali vrijednosti blizu jedinstva.

Sljedeći tip - približavanje RMS. Kada koristite konvergenciju SC-learning vektorske slučajnih procesa svodi na proučavanje slučajnih koordinirati procese.

Bio je posljednji tip, neka je nešto kratko i ići izravno na rješenje problema. Konvergencija u distribuciji ima drugo ime - „slab”, a zatim objasniti zašto. Slaba konvergencija - je konvergencija funkcija distribucije na svim točkama kontinuiteta funkcije ograničenje distribucije.

Budite sigurni da bi obećanje: slaba konvergencija je različit od svega gore navedenog da slučajna varijabla nije definirana na prostoru vjerojatnosti. To je moguće jer je uvjet je formirana isključivo pomoću funkcije distribucije.

Zakon velikih brojeva

Veliki pomagač u dokaz o zakonu će biti teoremi teorije vjerojatnosti, kao što su:

• Čebiševljev nejednakost.
• Čebiševljev poučak.
• Generalizirani Čebiševljev teorem.
• Markov teorem.

Ako uzmemo u obzir sve ove teoreme, onda je pitanje može potrajati nekoliko desetaka listova. Imamo glavni zadatak - je primjena teorije vjerojatnosti u praksi. Nudimo vam odmah i učiniti. No, prije nego što smo razmotriti aksiome teorije vjerojatnosti, oni su ključni partneri u rješavanju problema.

aksiomi

Od prvog, već smo vidjeli, kada se govori o nemogućem događaju. Prisjetimo se: vjerojatnost nemogućeg događaja je nula. Primjer nam je dao vrlo živopisan i sjećanju: snijeg je pao, pri temperaturi zraka od trideset stupnjeva Celzija.

Drugi je na sljedeći način: neki događaj s jedinstvom vjerojatnosti. Sada ćemo pokazati kako je napisano uz pomoć matematičkog jezika: P (B) = 1.

Treće: Slučajni događaj može se dogoditi ili ne, ali mogućnost je uvijek razlikovati od nula do jedan. Bliže je na jedinstvo, više šanse; ako je vrijednost blizu nule, vjerojatnost je vrlo niska. Mi to pisati u matematičkom jeziku: 0

Razmislite posljednji, četvrti aksiom, i to: zbroj vjerojatnosti dva događaja je jednak zbroju njihovih vjerojatnosti. Pisanje matematičkih pojmova: P (A + B) = P (A) + P (B).

Aksiomi teorije vjerojatnosti - to je jednostavno pravilo da neće biti teško zapamtiti. Pokušajmo riješiti neke probleme, na temelju već stečenog znanja.

srećka

Prvo, razmislite najjednostavniji primjer - lutrija. Zamislite da ste kupili srećku za sreću. Kolika je vjerojatnost da će osvojiti barem dvadeset rubalja? Ukupno cirkulacija uključena u tisuću ulaznica, od kojih jedna ima nagradu od pet stotina rubalja, deset stotina rubalja, dvadeset i pedeset rubalja, i sto - pet. Zadatak teorije vjerojatnosti na temelju kako pronaći put do sreće. Sada zajedno analiziramo odluku iznad pogledu zadataka.

Ako označavaju po nagradu od pet stotina rubalja, onda je vjerojatnost jednaka 0.001. Kako ćemo dobiti? Samo je potrebno broj „sretnika” ulaznica podijeljen s ukupnim brojem (u ovom slučaju: 1/1000).

U - dobitkom od sto rubalja, vjerojatnost će biti jednaka 0,01. Sada smo djelovali na isti način kao i prošle akcije (10/1000)

C - isplata dvadeset rubalja. Nađi vjerojatnost, to je jednaka 0,05.

Ostatak ulaznica nismo zainteresirani, kao njihov nagradni fond je manji od broja utvrđenog u stanju. Primjenjuju četvrti aksiom: vjerojatnost osvajanja najmanje dvadeset rubalja P (A) + (P) B + P (C). Pismo P označuje vjerojatnost nastanka događaja, što u prethodnim koracima već našli ih. Ostaje samo da se utvrditi potrebne podatke, odgovor smo dobili 0,061. Taj broj će biti odgovor na pitanje radnih mjesta.

špil karata

Problemi na teoriji vjerojatnosti, tu su i složeniji, na primjer, poduzeti sljedeći posao. Prije nego što palubi trideset i šest karata. Vaš zadatak - izvući dvije kartice u nizu, bez miješanja hrpu, prvi i drugi kartica mora biti asova, odijela ne smeta.

Za početak, pronašli vjerojatnost da je prva karta as, ovo podijeliti sa četiri i trideset šest. Postavite ga na stranu. Mi smo dobili drugi kartica asa s vjerojatnošću od tri stotine i trideset peti. Vjerojatnost drugom slučaju ovisi o tome koje kartice se izvukao prvi, mi smo zainteresirani, to je bio kec ili ne. Iz toga slijedi da se u slučaju ovisi o događaju A.

Sljedeći korak nalazimo vjerojatnost istodobnog provođenja, tj umnožiti A i B. Njihov rad je kako slijedi: vjerojatnost jednog događaja pomnožen uvjetne vjerojatnosti drugog, izračunali smo, uz pretpostavku da je došlo do prvog događaja, odnosno, prva kartica smo izvukli asa.

Da bi postali sve je jasno, daj oznaku takav element kao uvjetne vjerojatnosti događaja. Ona se izračunava pod pretpostavkom da je događaj dogodio. Je izračunat kao što slijedi: P (B / A).

Se proširiti rješenje problema naše: P (A _* B) = P (A) ₊ P (B / A) ili P (A _* B) = P (B) _* P (A / B). Vjerojatnost je (4/36) _* ((3/35) / (4/36) izračunava se zaokružuje na najbližu stotinku Imamo: .. _* 0,11 (0,09 / 0,11) = 0,11 _* 0, 82 = 0,09. vjerojatnost da ćemo izvući dva asa za redom jednak devet stotinki. vrijednost je vrlo mala, slijedi da je vjerojatnost nastanka događaja je vrlo niska.

zaboravio soba

Nudimo napraviti još neke mogućnosti za radna mjesta koja proučava teoriju vjerojatnosti. Primjeri rješenja nekih od onih koje ste vidjeli u ovom članku pokušati riješiti sljedeći problem: Dječak zaboravio telefonski broj za posljednju znamenku svog prijatelja, ali budući da je poziv bio vrlo važan, a onda je počeo da pokupi svaki zauzvrat. Moramo izračunati vjerojatnost da će pozvati više od tri puta. najjednostavnije rješenje problema, ako znate pravila, zakone i aksiome teorije vjerojatnosti.

Prije nego što vidjeti rješenje, pokušajte riješiti sami. Znamo da je potonji brojka može biti od nula do devet, za ukupno deset vrijednosti. Vjerojatnost rezultat potrebno je 1/10.

Zatim moramo uzeti u obzir mogućnosti za podrijetlo događaja, pretpostavimo da je dječak pogodili pravo i osvojio pravo, vjerojatnost takvih događaja je jednaka 1/10. Druga mogućnost: prvi poziv klizanja, a drugi cilj. Mi izračunati vjerojatnost takvih događaja: 9/10 pomnožen 1/9 na kraju smo dobili kao 1/10. Treća mogućnost: prvi i drugi poziv ispostavilo se da je u krivu adresu, tek treći dječak je gdje je htio. Izračunajte vjerojatnost takvih događaja: 9/10 pomnožen 8/9 i 1/8, dobivamo kao rezultat 1/10. Ostale opcije o stanju problema nismo zainteresirani, to ostaje za nas položiti ove rezultate, na kraju imamo 3/10. Odgovor: Vjerojatnost da je dječak nazvao ne više od tri puta, jednake 0,3.

Kartice s brojevima

Prije nego što je devet kartice, od kojih je svaki pisani broj od jedan do devet, brojevi ne ponavljaju. Oni su stavili u kutiju i dobro promiješajte. Morate izračunati vjerojatnost da je

• valjane paran broj;
• dvoznamenkasti.

Prije prelaska na odluke navode da m - broj uspješnih slučajeva, a n - ukupni broj opcija. Neka nam otkriti vjerojatnost da je broj je čak. Nije teško izračunati da je čak i broj četiri, a to je naš m, svih devet mogućih opcija, to jest, m = 9. Tada je vjerojatnost jednaka 0,44 i 4/9.

Smatramo da je drugi slučaj, broj varijanti devet, a uspješan ishod ne može biti na sve, to jest, m je nula. Vjerojatnost da produlje kartica će sadržavati dvije znamenke broja, kao nula.