Russell paradok-: osnovne informacije, primjeri formulacija

Russell paradoksalno je dva ovisni logično antinomija.

Dva oblika Russell paradoks

Najčešće raspravljalo oblik suprotnosti u logičkim setovima. Neki od skupa čini se da su sami članovi, a drugi - ne. Skup svih skupova je sama po sebi skupa, pa se čini da se odnosi na sebe. Null ili prazna, međutim, ne bi trebalo biti član sebe. Dakle, skup svih skupova, kao nula nije uključena u sebe. Paradoks nastaje kada se pitanje da li je skupa član sebe. To je moguće ako i samo ako to nije.

Drugi oblik paradoks je kontradikcija u vezi nekretnina. Neke osobine, čini se da se odnosi na sebe, dok drugi nisu. Objekt se imovina sama je vlasništvo, a vlasništvo bilo da je mačka nije. Razmotrimo svojstvo da imaju nekretninu koja ne pripada njemu. ako se odnosi na sebe? Opet, bilo koji od pretpostavki treba biti suprotno. Paradoks je nazvana u čast Bertrand Russell (1872-1970), koji ju je otkrio 1901. godine.

priča

Otvaranje je Russell dogodila tijekom rada na „načelima matematike”. Iako je otkrio paradoks samostalno, postoje dokazi da drugi matematičari i programeri skup teorija, uključujući i Ernst Zermelo i David Hilbert, bili su svjesni prve verzije proturječja prije njega. Russell je, međutim, bio je prvi koji je objašnjeno u detalje paradoks u svojim objavljenim radovima, prvo je pokušao formulirati rješenja, a prvi u potpunosti cijeniti njen značaj. Cijeli poglavlje „Načela” bio je posvećen raspravi o tom pitanju, a program je posvećen teoriji vrsta, koja je Russell predložio kao rješenje.

Russell otkrio „paradoks lažljivca”, s obzirom na Cantor je skup teorija koja kaže da je moć bilo koji skup je manji od skupa svojih podskupova. Barem u domeni treba biti onoliko podskupovi što postoje elementi u njemu, ako je postavljen jedan podskup svakog elementa sadrži samo taj element. Nadalje, Cantor je pokazao da je broj elemenata ne može biti jednak broju podskupine. Ako su isti broj, to bi trebala postojati ƒ značajku koja će se prikazati elemente na svoje podskupine. Istovremeno se može dokazati da je to nemoguće. Neke se stavke mogu prikazati na funkciji ƒ podskupova koji ih sadrže, dok drugi ne mogu.

Razmotrimo podskup elemenata koji ne pripadaju njihovim slikama, u kojima se prikazuju ƒ. To je samo po sebi podskup elemenata, te stoga ƒ funkcija će ga prikazati na element u domeni. Problem je u tome onda se postavlja pitanje da li taj element pripada podskupini na koje se prikazuje ƒ. To je moguće samo ako se ne pripada. Russellov paradoks može se vidjeti kao primjer istoj liniji razmišljanja, samo pojednostavljen. Što je više - skupovi ili podskupovi skupa? Čini se da ne bi trebalo biti više skupova, kao i sve podskupine samih setovima. Ali ako Cantorov teorem je istina, onda ne bi trebalo biti više podskupovi. Russell smatra jednostavno prikazati seta na sebi i primjenjivati kantoriansky pristup s obzirom na skup svih tih elemenata, izvan seta u kojem su prikazane. Prikazuje Russell postaje skup svih skupova, ne.

greška Frege

„Paradoks je lažljivac” imala je dubok utjecaj na povijesni razvoj teorije skupova. On je pokazao da je pojam univerzalnog skupa je vrlo problematično. Također je postavio pitanje ideju da za svaku definiranu uvjet ili predikata može pretpostaviti postojanje mnoštva samo one stvari koje zadovoljavaju taj uvjet. Opcija paradoks u pogledu svojstava - prirodni nastavak na verziju setovima - izazvalo ozbiljnu sumnju da li je moguće raspravljati o objektivnom postojanju imovine ili univerzalni sukladnosti na svako određeno stanje, odnosno predikata.

Ubrzo su pronađene kontradikcije i problemi u radu logičara, filozofi i matematičari koji su dali slične pretpostavke. Godine 1902. Russell otkrili su da je varijanta paradoksa može izraziti u logičan sustav, razvijen u Volume I. Gottlob Frege je „Temelji aritmetike”, jedan od glavnih radova na logici krajem XIX - početkom XX stoljeća. U filozofiji Frege mnogi shvatili kao „proširenje” ili koncept „vrijednost dometa”. Pojmovi su najbliži oni čimbenici. Očekuje se da će biti za bilo koji uvjet ili predikata. Dakle, tu je koncept skupa, koji ne spadaju u njegovu definiranju koncepta. Tu je i klasa definira taj pojam, a to je predmet definiranja koncepta samo ako to nije.

Russell je napisao da Frege o tom sukobu u lipnju 1902. Korespondencija je postao jedan od najuzbudljivijih i govorio o povijesti logike. Frege je odmah prepoznao katastrofalne posljedice paradoksa. Istaknuo je, međutim, da je verzija spora u vezi svojstva u svojoj filozofiji riješeno je razlikovanje između pojmova razinama.

Frege pojam shvatiti kao prijelaz iz argumenata funkcije na True. Pojmovi Prva razina uzimajući kao argumente objekti drugoj razini pojmova uzimaju kao argumenti tih funkcija, i tako dalje. Dakle, koncept nikada ne može sama poduzeti kao argument, a paradoks u smislu svojstava ne mogu biti formulirani. Ipak setovi, proširenje ili koncepti Frege razumio da se odnosi na istom logičkom tipa kao da je od svih drugih objekata. Tada za svaki set postavlja se pitanje da li to spada pod pojam se definira.

Kada Frege, Russell je dobio prvo slovo, drugi volumen „Temelji aritmetike” već je završen ispis. Bio je prisiljen da brzo pripremiti program koji daje odgovor na paradoks Russell. Primjeri Frege je sadržavao niz mogućih rješenja. Ali on je došao do zaključka da oslabi pojam apstrakcije skupa u logičan sustav.

U originalu, moguće je zaključiti da stvar pripada skupu ako i samo ako se nalaze unutar koncepta, definira ga. Izmijenjeni sustav može samo zaključiti da stvar pripada skupu ako i samo ako to spada u pojam s većim, ali ne postavljen u pitanje. Russellov paradoks proizlazi.

Rješenje, međutim, nije u potpunosti zadovoljan Frege. I to je bio razlog. Nekoliko godina kasnije, složeniji oblik suprotnosti je pronađen za revidiranog sustava. No, čak i prije nego što se to dogodilo, Frege napustio odluke i čini se da dolaze do zaključka da je njegov pristup bio jednostavno neupotrebljive, a to logika će morati učiniti bez ikakvih setovima.

Ipak, drugi su predložene, relativno uspješna alternativna rješenja. To su u nastavku.

Teorija tipova

Bilo je gore navedeno da je Frege bio adekvatan odgovor na paradoksima teorije skupova u verziji formulirana za nekretnine. Frege je odgovor prethodio je najčešće raspravlja rješenje za ovaj oblik paradoksa. Ona se temelji na činjenici da su svojstva podliježu različitim vrstama i kakvu vrstu imovine nikad nije isti kao stavke na koje se odnosi.

Dakle, čak ni pitanje, da li je imovina se odnosi na sebe. Logički jezik, koji razdvaja elemente takve hijerarhije, koristeći teoriju tipova. Iako se već koristi Frege, po prvi put je u potpunosti objasniti i potkrijepiti Russell u prilogu na „princip”. Teorija vrsta bila potpunija nego razlika razina Frege. Ona dijeli svojstva nisu samo različite vrste logike, ali i postaviti. tip teorije riješiti kontradikciju u paradoksu Russell slijedi.

Da bi biti filozofski adekvatan, usvajanje teorije vrste nekretnina zahtijeva razvoj teorije o prirodi svojstva, tako da bi moglo objasniti zašto se ne mogu primijeniti na sebe. Na prvi pogled, ima smisla da predikat vlastite imovine. Vlasništvo se samo-identitet, čini se, to je također samo-identitet. Objekt se čini da je lijepo ugodna. Na isti način, očito, čini se lažno reći da vlasništvo bude mačka je mačka.

Ipak, razni mislioci opravdati podjelu različitih tipova. Russell je čak dao različite objašnjenja u različito vrijeme u svojoj karijeri. Sa svoje strane, razlozi za razdvajanje različitih koncepata razina Frege dolazi iz njegove teorije nezasićenih koncepata. Koncepti kao funkciju, u suštini, nepotpuni. Osigurati vrijednost, što im je potrebno argument. Ne samo jedan pojam može na utvrđena koncept istog tipa, jer je još uvijek zahtijeva svoju tvrdnju. Na primjer, iako je moguće da se korijen kvadratni korijen broja, ne možete samo koristiti kvadratni korijen funkciju trga funkciju korijena i dobiti rezultat.

O konzervativizam svojstvima

Drugo moguće rješenje je paradoks svojstva negacija svojstva postojanje pod kojim danim uvjetima, ili razvijenije predikata. Naravno, ako netko izbjegava metafizičke osobine oba objektivnih i neovisnih elemenata u cjelini, ako uzmemo nominalizmu paradoks može se u potpunosti izbjeći.

Međutim, za rješavanje antinomije ne mora biti tako ekstremno. Logika višega reda sustavi razvijeni Frege i Russell, sadrži ono što se naziva konceptualni načelo prema kojemu svaka otvorena formula bez obzira na to koliko je složen postoji kao dio imovine ili koncept na primjer, samo one stavke koje odgovaraju formulu. Oni se primjenjuju na atributima svaki mogući set uvjeta ili predikata, bez obzira koliko je složena su bili.

Ipak, bilo je moguće da se strože metafizike svojstva, dajući pravo na objektivno postojanje jednostavnih svojstava, uključujući, na primjer, kao što su crvene boje, čvrstoće, ljubaznost i tako dalje. D. Možete čak i neka ta svojstva vrijede za sebe, kao što su ljubaznost može biti ljubazni.

A isto stanje za složene atributa može biti odbijen, na primjer, kao „svojstva” kao vlasništvo sedamnaest glava, biti napisan u vodi i slično. D. U tom slučaju, ne predodređeno stanje ne zadovoljava svojstvo, shvatiti kao odvojeno postojeći element, koji ima svoje osobine. Tako se može poreći postojanje jednostavnih svojstava biti-imovine-da-ne-primjenjuje za sebe i izbjeći paradoks primjenom konzervativnije metafizičke svojstva.

Russellov paradoks: rješenje

Iznad je napomenuti da je na kraju svog života Frege potpuno napustili logiku seta. To je, naravno, jedan rješenje antinomije u obliku kompleta: jednostavna poricanje postojanja takvih elemenata u cjelini. Osim toga, postoje i drugi popularni izbor, osnove od kojih su prikazani u nastavku.

Teorija za mnoge vrste

Kao što je ranije spomenuto, Russell je igrao za potpunije teorije tipova, koji će dijele ne samo svojstva ili pojmove na različite vrste, ali i postaviti. Russell shared postaviti na mnogo odvojenih jedinica, mnoštvo kompleta odvojenih predmeta, itd Setovi objekata nisu uzeti u obzir, a više skupova - .. setovima. Puno nikad uživao tip, omogućuje vam da imate kao član sebe. Stoga ne postoji skup svih skupova koji nisu članovi svoje, jer za bilo koji niz pitanja o tome da li je to kao član, je sama po sebi vrsta povreda. Opet, pitanje je da se ovdje objasniti metafizike seta objasniti filozofske temelje podjele na vrste.

stratifikacija

Godine 1937., V. V. Kuayn je ponudio alternativno rješenje, na način sličan teorije tipova. Osnovne informacije o tome jesu.

Pregrada setovi i dr. Napravio tako da je pretpostavka za pronalaženje većeg uvijek netočan ili besmisleno. Setovi mogu se osigurati samo pri utvrđivanju njihovih uvjeta nisu vrsta povreda. Tako je, Quine, izraz „x nije član x” je značajna izjava ne znači postojanje skupa svih elemenata x zadovoljavaju taj uvjet.

U tom sustavu skup postoji neko otvoreni formule A ako i samo ako je stratificirani, t, E. Ako su varijable su dodijeljeni prirodnih brojeva tako da za svaku karakteristiku pojavu više od prethodnih to varijable dodijeljen zadatak jedinica manji od varijabli, nakon njim. To blokira Russellov paradoks, jer formula koristi za određivanje set problema, tu je isti prije i poslije varijabla članstvo znak što ga unstratified.

Ali to još uvijek nije utvrdilo je li rezultirajući sustav, što Quine naziva „Novi Temelji Matematička logika” dosljedan.

odbacivanje

Posve drugačiji pristup uzima u teoriji Zermelo - Fraenkel (ZF). Ovdje, također, postaviti ograničenje na postojanje seta. Umjesto toga, pristup „odozgo prema dolje” od Russella i Frege, koji je u početku mislio da je za sve koncepte, svojstva ili stanja može sugerirati postojanje skupa svih stvari s ovog objekta ili u susret takvo stanje, u ZF-teoriji, sve počinje „odozdo prema gore”.

Pojedini elementi praznog skupa i čine cjelinu. Dakle, za razliku od ranijih sustava i Russell Frege FIT ne pripada univerzalnom skupu koji uključuje sve elemente, pa čak i sve skupa. ZF postavlja stroge granice na postojanje seta. Mogu postojati samo oni za koje se jasno postulira ili koji mogu biti formulirani pomoću iterativnog procesa i sl. D.

Zatim, umjesto koncepta apstrakcije naivne set u kojem se navodi da je određeni element koji je uključen u set, ako i samo ako ispunjava uvjete u načelu razdvajanja koristi DF, odvajanje ili „sortiranje”. Umjesto pretpostavku postojanje skupa svih elemenata koji su bez iznimke zadovoljavaju određeni uvjet, za svaki postojeći set Aussonderung ukazuje na postojanje podskup svih elemenata u originalnom setu koji zadovoljava uvjet.

Tada dolazi apstrakcija princip: ako postoji skup A, onda, za sve x na A, x pripada podskupini A, koji zadovoljava uvjet ako i samo ako je x zadovoljava uvjet C. Ovaj pristup rješava paradoks Russell, jer ne možemo jednostavno pretpostaviti to jest skup svih skupova koji nisu članovi sebe.

Ima puno setova, možete odabrati ili ga podijeliti u skupove, koji su sami po sebi, a oni koji nisu takvi, ali budući da ne postoji univerzalni skup nismo dužni skup svih skupova. Bez pretpostavku problem postavlja Russell kontradikcija ne može dokazati.

druga rješenja

Osim toga, tu su naknadne proširenja ili izmjene ovih rješenja, kao što je teorija vilica tipa iz „principa matematike” izgradnje sustava „matematička logika” Quine, kao i novijih zbivanja u teoriji skupova, napravio Bernays, Gödel i von Neumann. Pitanje da li je odgovor u netopljivi paradoksa Bertrand Russell našao, još uvijek je stvar rasprave.